ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 213: Число сочетаний и треугольник Паскаля
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Артём Савельев, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Помеченным деревом называется остовное дерево полного графа с пронумерованными вершинами. Между помеченными деревьями с n вершинами и последовательностями натуральных чисел из отрезка от 1 до n длиной n-2 существует взаимно однозначное соответствие. Сколько всего существует помеченных деревьев с n вершинами?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче нам предлагается найти количество помеченных деревьев с n вершинами, опираясь на утверждение о взаимно однозначном соответствии (биекции) между этими деревьями и определёнными последовательностями чисел. Это классическая задача комбинаторики, известная как формула Кэли.
Шаг 1. Анализ условия задачи
Согласно условию, существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех помеченных деревьев с n вершинами и множеством последовательностей натуральных чисел, где:
- каждое число в последовательности берётся из отрезка [1;n];
- длина такой последовательности равна n-2.
Поскольку соответствие является взаимно однозначным, количество помеченных деревьев равно количеству таких последовательностей. Наша задача сводится к подсчёту числа возможных последовательностей заданной длины из заданного алфавита.
Шаг 2. Подсчёт количества последовательностей
Рассмотрим произвольную последовательность длиной k=n-2. Каждый элемент этой последовательности может принимать любое значение из множества 1,n. То есть для каждого места в последовательности у нас есть n вариантов выбора.
Так как выбор каждого элемента независим от других, мы применяем правило произведения (комбинаторный принцип умножения). Количество способов составить такую последовательность равно произведению количества вариантов для каждой позиции:
N=n·n·…·nn-2 разЭто выражение можно записать в виде степени:
N=nn-2Шаг 3. Формулировка ответа
Мы установили, что количество последовательностей натуральных чисел длиной n-2, составленных из чисел от 1 до n, равно nn-2.
В силу данного в условии взаимно однозначного соответствия, это же число является количеством помеченных деревьев с n вершинами.
Таким образом, ответом на задачу является формула Кэли: nn-2.
nn-2
Задача основана на теореме Кэли. Ключевой момент — понимание того, что биекция переносит проблему подсчёта графовых объектов (деревьев) на проблему подсчёта простых комбинаторных объектов (последовательностей). Длина последовательности n-2 и алфавит размера n дают общее число комбинаций nn-2.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 213 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 213?
Краткий ответ: n^n-2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 23. Число сочетаний и треугольник Паскаля.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.