ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 214: Число сочетаний и треугольник Паскаля
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Кирилл Панов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Используя треугольник Паскаля, вычислите значения биномиальных коэффициентов
а) C68
б) C311
в) C410.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся свойством симметрии биномиальных коэффициентов и структурой треугольника Паскаля. Треугольник Паскаля строится так: на вершине стоит единица (строка n=0), а каждое следующее число в строке n равно сумме двух чисел из предыдущей строки n-1, стоящих над ним. Число сочетаний Ckn соответствует (k+1)-му элементу в n-й строке (нумерация строк и элементов начинается с нуля).
Шаг 1. Вычисление C68
Используем формулу симметрии Ckn=Cn-kn. Для C68 получаем:
C68=C8-68=C28Теперь найдем значение C28, используя треугольник Паскаля или формулу вычисления.
Строки треугольника Паскаля до n=8:
- n=0: 1
- n=1: 1,1
- n=2: 1,2,1
- n=3: 1,3,3,1
- n=4: 1,4,6,4,1
- n=5: 1,5,10,10,5,1
- n=6: 1,6,15,20,15,6,1
- n=7: 1,7,21,35,35,21,7,1
- n=8: 1,8,28,56,70,56,28,8,1
В строке n=8 третий элемент (индекс k=2) равен 28. Следовательно, C68=28.
Шаг 2. Вычисление C311
Здесь k=3 уже меньше половины от n=11, поэтому можно сразу искать элемент с индексом 3 в строке n=11 или использовать формулу:
C311=11·10·9/3·2·1Выполним сокращение:
11·10·9/6=11·5·3=165Проверим по логике построения треугольника. Элементы строки n=11 можно получить, зная элементы строки n=10. Однако прямое вычисление по формуле надежнее для больших n. Значение C311 равно 165.
Шаг 3. Вычисление C410
Используем формулу вычисления числа сочетаний:
C410=10!/4!(10-4)!=10·9·8·7/4·3·2·1Сократим дробь:
- 4·2=8, сокращаем с 8 в числителе.
- 3 сокращаем с 9, остается 3.
Получаем:
10·3·7=210Таким образом, C410=210.
а) 28
б) 165
в) 210
Решение опирается на свойства биномиальных коэффициентов (симметрия) и стандартную формулу вычисления через факториалы/произведения, что эквивалентно чтению значений из треугольника Паскаля. Для пункта а) использована симметрия для упрощения индекса. Для пунктов б) и в) выполнено прямое арифметическое вычисление.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 214 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 214?
Краткий ответ: а) 28 б) 165 в) 210.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 23. Число сочетаний и треугольник Паскаля.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.