ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 223: Число сочетаний и треугольник Паскаля
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Вера Лапина, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Сколько треугольников можно построить с вершинами в данных точках, если всего точек
а) 8
б) 15
в) 19
г) n? (Предполагается, что никакие три точки не лежат на одной прямой).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этой задачи нужно понять, как из заданного множества точек можно образовать треугольник. Треугольник определяется тремя своими вершинами. Поскольку по условию никакие три точки не лежат на одной прямой, любая тройка различных точек будет образовывать невырожденный треугольник.
Таким образом, задача сводится к нахождению числа способов выбрать 3 точки из общего количества данных точек. Порядок выбора точек не важен (треугольник с вершинами A,B,C — это тот же самый треугольник, что и с вершинами B,A,C), поэтому мы используем формулу числа сочетаний:
Ckm=m!/k!(m-k)!В нашем случае нам нужно выбрать k=3 точки из m имеющихся. Подставим значения в формулу:
C3m=m!/3!(m-3)!=m(m-1)(m-2)/6Шаг 1. Решение для пункта а)
Дано: всего точек m=8. Нужно найти число треугольников, то есть число сочетаний из 8 по 3.
Используем выведенную выше формулу:
C38=8·7·6/6Сокращаем 6 в числителе и знаменателе:
C38=8·7=56Ответ: можно построить 56 треугольников.
Шаг 2. Решение для пункта б)
Дано: всего точек m=15. Находим число сочетаний из 15 по 3.
C315=15·14·13/6Упростим выражение. Заметим, что 15 делится на 3, а 14 делится на 2, так что знаменатель 6=3·2 полностью сокращается:
15/3=5, 14/2=7Тогда:
C315=5·7·13=35·13Вычислим произведение:
35·13=35·(10+3)=350+105=455Ответ: можно построить 455 треугольников.
Шаг 3. Решение для пункта в)
Дано: всего точек m=19. Находим число сочетаний из 19 по 3.
C319=19·18·17/6Сократим дробь. Число 18 делится на 6 без остатка (18:6=3):
C319=19·3·17Сначала умножим 19 на 3:
19·3=57Затем умножим результат на 17:
57·17=57·(10+7)=570+399=969Ответ: можно построить 969 треугольников.
Шаг 4. Решение для пункта г)
Дано: всего точек n. Нам нужно записать общую формулу для числа треугольников.
Как было показано во введении, количество способов выбрать 3 вершины из n возможных равно числу сочетаний C3n:
C3n=n!/3!(n-3)!Раскроем факториалы, чтобы упростить выражение:
n(n-1)(n-2)(n-3)!/6·(n-3)!Сокращаем (n-3)!:
n(n-1)(n-2)/6Ответ: n(n-1)(n-2)/6.
а) 56
б) 455
в) 969
г) n(n-1)(n-2)/6
Задача на применение комбинаторики. Ключевой момент: условие 'никакие три точки не лежат на одной прямой' гарантирует, что любая комбинация из трех точек образует треугольник. Поэтому ответом является просто число сочетаний из n по 3.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 223 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 223?
Краткий ответ: а) 56 б) 455 в) 969 г) n(n-1)(n-2)6.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 23. Число сочетаний и треугольник Паскаля.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.