ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 226: Формула бинома Ньютона
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Мария Волкова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найти количество кратчайших маршрутов мухи из точки A в точку B по рёбрам решётки размером
а) 4×4
б) 5×4
в) 7×6.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Задача на комбинаторику: найти число кратчайших путей по рёбрам прямоугольной решётки. Кратчайший путь из точки A в точку B всегда состоит только из движений «вправо» и «вверх» (или «вниз», если ориентация другая, но суть та же). Если размер решётки m×n, то для перехода из одного угла в противоположный нужно сделать ровно m шагов в одном направлении и n шагов в другом.
Шаг 1. Вывод общей формулы
Общее количество шагов в любом кратчайшем маршруте равно сумме длин сторон: N=m+n. Из этих N шагов нам нужно выбрать те моменты времени, когда мы делаем шаг, например, «вправо». Количество способов выбрать m шагов «вправо» из общего числа N шагов определяется биномиальным коэффициентом:
Cmm+n=(m+n)!/m!·n!Это и есть ответ на задачу для любой решётки размером m×n.
Шаг 2. Решение пункта а) Решётка 4×4
Здесь m=4 и n=4. Общее число шагов N=4+4=8. Нам нужно выбрать 4 шага из 8.
C48=8!/4!·4!=8·7·6·5/4·3·2·1Сокращаем дроби: 4·2=8, поэтому 8 в числителе сокращается с 8 в знаменателе. Остается 7·6·5/3·1. Так как 6/3=2, получаем 7·2·5=70.
Ответ а): 70 маршрутов.
Шаг 3. Решение пункта б) Решётка 5×4
Здесь одна сторона равна 5, другая — 4. Пусть m=5,n=4. Общее число шагов N=5+4=9. Выбираем 5 шагов из 9 (или 4 из 9, результат тот же).
C59=9!/5!·4!=9·8·7·6/4·3·2·1Вычисляем: 4·2=8, сокращаем с 8 в числителе. 6/3=2. Остаётся 9·7·2=63·2=126.
Ответ б): 126 маршрутов.
Шаг 4. Решение пункта в) Решётка 7×6
Здесь m=7,n=6. Общее число шагов N=7+6=13. Нужно вычислить C713 (или C613).
C613=13!/6!·7!=13·12·11·10·9·8/6·5·4·3·2·1Упрощаем выражение:
- 6·2=12, сокращаем с 12 в числителе.
- 5·4=20, а в числителе есть 10·8=80. 80/20=4. Или проще: 10/5=2, 8/4=2.
- Осталось в знаменателе 3·1=3. В числителе есть 9. 9/3=3.
Пересчитаем аккуратно после сокращения:
13·11·10·9·8/6·5·4·3·2·1Сокращаем 6 и 3 со знаменателя (18) с 9 и частью чего-то другого? Лучше так:
Числитель: 13·12·11·10·9·8. Знаменатель: 720 (6!). 12·10·6=720? Нет. Давайте сократим по частям: 12/6=2. 10/5=2. 8/4=2. 9/3=3. 2/2=1 (осталась двойка от первого сокращения или вторая двойка?). Знаменатель был 6·5·4·3·2·1. Мы использовали: 6,5,4,3,2. Осталась единица. В числителе остались: 13,11 и результаты деления: 12/6=2 10/5=2 8/4=2 9/3=3 И ещё была двойка в знаменателе (2), которую надо сократить с одной из двоек в числителе. Возьмём первую двойку (2 от 12/6) и сократим с 2 в знаменателе. Получится 1. Итого множители в числителе: 13·11·1·2·3·2. Произведение: 13·11=143. 2·3·2=12. 143·12=143·(10+2)=1430+286=1716.
Ответ в): 1716 маршрутов.
а) 70
б) 126
в) 1716
Для решения использована стандартная комбинаторная модель пути по решётке. Число кратчайших путей из левого нижнего угла в правый верхний угол прямоугольника m×n равно биномиальному коэффициенту Cmm+n. Вычисления выполнены вручную с упрощением факториалов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 226 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 226?
Краткий ответ: а) 70 б) 126 в) 1716.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 24. Формула бинома Ньютона.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.