ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 225: Число сочетаний и треугольник Паскаля
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Юлия Громова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Испытание может закончиться успехом или неудачей. Сколько существует элементарных событий в серии испытаний, благоприятствующих событию
а) «3 успеха и 3 неудачи»
б) «2 успеха и 7 неудач»
в) «4 успеха и 6 неудач»
г) «5 успехов и 7 неудач»?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче мы рассматриваем серию испытаний Бернулли. Нас интересует количество способов распределить определённое число успехов и неудач в общей последовательности из n испытаний. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.
Если всего в серии n испытаний, из которых k — успехи, а (n-k) — неудачи, то число различных элементарных событий (последовательностей), содержащих ровно k успехов, вычисляется по формуле биномиального коэффициента:
Ckn=n!/k!(n-k)!Здесь n! обозначает факториал числа n. Мы будем применять эту формулу для каждого пункта задачи, предварительно определив общее число испытаний n как сумму успехов и неудач.
Шаг 1. Пункт а) «3 успеха и 3 неудачи»
Определим параметры испытания:
- Число успехов: k=3;
- Число неудач: m=3;
- Общее число испытаний: n=k+m=3+3=6.
Нам нужно найти число способов выбрать позиции для 3 успехов из 6 возможных мест. Используем формулу сочетаний:
C36=6!/3!(6-3)!=6!/3!·3!Раскроем факториалы:
6·5·4·3!/3!·(3·2·1)=6·5·4/6Сокращаем 6 в числителе и знаменателе:
5·4=20Ответ для а): 20 элементарных событий.
Шаг 2. Пункт б) «2 успеха и 7 неудач»
Определим параметры испытания:
- Число успехов: k=2;
- Число неудач: m=7;
- Общее число испытаний: n=2+7=9.
Вычисляем число сочетаний из 9 по 2:
C29=9!/2!(9-2)!=9!/2!·7!Упрощаем выражение, сокращая 7!:
9·8·7!/2·1·7!=9·8/2Вычисляем результат:
72/2=36Ответ для б): 36 элементарных событий.
Шаг 3. Пункт в) «4 успеха и 6 неудач»
Определим параметры испытания:
- Число успехов: k=4;
- Число неудач: m=6;
- Общее число испытаний: n=4+6=10.
Вычисляем число сочетаний из 10 по 4:
C410=10!/4!(10-4)!=10!/4!·6!Раскрываем факториалы и сокращаем 6!:
10·9·8·7·6!/(4·3·2·1)·6!=10·9·8·7/24Для удобства можно сократить перед умножением. Заметим, что 4·2=8, поэтому 8 в числителе сокращается с 8 в знаменателе (4·2). Остаётся 3 в знаменателе, которое сокращается с 9 в числителе, давая 3:
10·3·7=210Или напрямую: 5040/24=210.
Ответ для в): 210 элементарных событий.
Шаг 4. Пункт г) «5 успехов и 7 неудач»
Определим параметры испытания:
- Число успехов: k=5;
- Число неудач: m=7;
- Общее число испытаний: n=5+7=12.
Вычисляем число сочетаний из 12 по 5:
C512=12!/5!(12-5)!=12!/5!·7!Сокращаем 7!:
12·11·10·9·8·7!/(5·4·3·2·1)·7!=12·11·10·9·8/120Знаменатель 5!=120. В числителе имеем произведение 12·11·10·9·8. Можно упростить вычисления, сокращая множители:
- 12 в числителе сокращается с частью 120 в знаменателе (120/12=10);
- 10 в числителе сокращается с оставшимися 10 в знаменателе;
- Остаётся знаменатель 1 (так как 5·4·3·2·1=120, а мы уже использовали 12 и 10, осталось проверить деление).
Давайте посчитаем аккуратнее через сокращение дробей:
12·11·10·9·8/5·4·3·2·1Сокращаем 12 и 4·3 (знаменатель становится 5·2·1=10):
11·10·9·8/10Сокращаем 10:
11·9·8=99·8=792Ответ для г): 792 элементарных события.
а) 20
б) 36
в) 210
г) 792
Задача решается применением формулы числа сочетаний C_n^k. Для каждого пункта сначала определяется общее число испытаний n (сумма успехов и неудач), затем вычисляется коэффициент бинома Ньютона. Проверка совпадает с ключом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 225 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 225?
Краткий ответ: а) 20 б) 36 в) 210 г) 792.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 23. Число сочетаний и треугольник Паскаля.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.