ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 231: Формула бинома Ньютона
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Дмитрий Орлов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Преобразовать степень двучлена в многочлен стандартного вида
а) (x+y)4
б) (x-y)5
в) (2x-1)5
г) (3x-2y)4.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона: (a+b)n=∑nk=0Cknan-kbk где Ckn — число сочетаний из n по k, которое можно найти с помощью треугольника Паскаля или формулы Ckn=n!/k!(n-k)!.
Шаг 1. Преобразование выражения а) (x+y)4
Здесь a=x, b=y, n=4. Коэффициенты для степени 4 (строка треугольника Паскаля): 1,4,6,4,1.
Раскрываем скобки:
(x+y)4=1·x4y0+4·x3y1+6·x2y2+4·x1y3+1·x0y4Упрощаем степени (y0=1,x0=1):
x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4Шаг 2. Преобразование выражения б) (x-y)5
Здесь a=x, b=-y, n=5. Коэффициенты для степени 5: 1,5,10,10,5,1.
Важно учитывать знаки при возведении (-y) в степень: нечётные степени дают минус, чётные — плюс.
(x-y)5=1·x5(-y)0+5·x4(-y)1+10·x3(-y)2+10·x2(-y)3+5·x1(-y)4+1·x0(-y)5Вычисляем члены:
- 1·x5·1=x5
- 5·x4·(-y)=-5x4y
- 10·x3·y2=10x3y2
- 10·x2·(-y3)=-10x2y3
- 5·x·y4=5xy4
- 1·1·(-y5)=-y5
Итоговый многочлен:
x5-5x4y+10x3y2-10x2y3+5xy4-y5Шаг 3. Преобразование выражения в) (2x-1)5
Здесь a=2x, b=-1, n=5. Коэффициенты: 1,5,10,10,5,1.
Запишем разложение:
(2x-1)5=1(2x)5(-1)0+5(2x)4(-1)1+10(2x)3(-1)2+10(2x)2(-1)3+5(2x)1(-1)4+1(2x)0(-1)5Вычислим каждый член отдельно:
- 1·32x5·1=32x5
- 5·16x4·(-1)=-80x4
- 10·8x3·1=80x3
- 10·4x2·(-1)=-40x2
- 5·2x·1=10x
- 1·1·(-1)=-1
Собираем результат:
32x5-80x4+80x3-40x2+10x-1Шаг 4. Преобразование выражения г) (3x-2y)4
Здесь a=3x, b=-2y, n=4. Коэффициенты: 1,4,6,4,1.
Запишем разложение:
(3x-2y)4=1(3x)4(-2y)0+4(3x)3(-2y)1+6(3x)2(-2y)2+4(3x)1(-2y)3+1(3x)0(-2y)4Вычислим каждый член:
- 1·81x4·1=81x4
- 4·27x3·(-2y)=4·(-54)x3y=-216x3y
- 6·9x2·4y2=6·36x2y2=216x2y2
- 4·3x·(-8y3)=4·(-24)xy3=-96xy3
- 1·1·16y4=16y4
Итоговый многочлен:
81x4-216x3y+216x2y2-96xy3+16y4а) x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4
б) x5-5x4y+10x3y2-10x2y3+5xy4-y5
в) 32x5-80x4+80x3-40x2+10x-1
г) 81x4-216x3y+216x2y2-96xy3+16y4
Решение выполнено строго по формуле бинома Ньютона с использованием коэффициентов из треугольника Паскаля. Особое внимание уделено знакам при отрицательных вторых слагаемых и возведению коэффициентов при переменных в соответствующие степени.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 231 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 231?
Краткий ответ: а) x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 б) x^5 - 5x^4y + 10x^3y^2 - 10x^2y^3 + 5xy^4 - y^5 в) 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 г) 81x^4 - 216x^3y + 216x^2y^2 - 96xy^3 + 16y^4.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 24. Формула бинома Ньютона.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.