10–11 классы Серия независимых испытаний Бернулли § 26. Серия независимых испытаний Бернулли

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 266: Серия независимых испытаний Бернулли

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Анна Соколова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 265 267 →

Условие

Что больше — вероятность события «выпадет 1012 орлов при 2024 бросаниях монеты» или «выпадет 1011 орлов при 2023 бросаниях монеты»?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи воспользуемся формулой вероятности события в серии независимых испытаний Бернулли. Пусть n — количество бросаний монеты, а k — количество выпавших орлов. Вероятность того, что орёл выпадет ровно k раз, вычисляется по формуле:

P_n(k)=Cknp^k(1-p)^n-k

Так как монета симметричная, вероятность выпадения орла p=1/2 и решки 1-p=1/2. Тогда формула упрощается до вида:

P_n(k)=Ckn(1/2)ⁿ=Ckn/2ⁿ

Шаг 1. Запишем вероятности для обоих случаев

Рассмотрим первый случай: n₁=2024 бросаний, k₁=1012 орлов. Вероятность этого события равна:

P₁=C10122024/2²⁰²⁴

Рассмотрим второй случай: n₂=2023 бросаний, k₂=1011 орлов. Вероятность этого события равна:

P₂=C10112023/2²⁰²³

Шаг 2. Сравним вероятности через отношение

Чтобы понять, какая вероятность больше, найдём отношение P₁/P₂:

P₁/P₂=C10122024/2²⁰²⁴/C10112023/2²⁰²³=C10122024/C10112023·2²⁰²³/2²⁰²⁴=C10122024/C10112023·1/2

Используем свойство биномиальных коэффициентов Ckn=n!/k!(n-k)!. Распишем отношение коэффициентов:

C10122024/C10112023=2024!/1012!·(2024-1012)!/2023!/1011!·(2023-1011)!=2024!/1012!·1012!/2023!/1011!·1012!

Сократим дроби:

C10122024/C10112023=2024!/1012!·1012!·1011!·1012!/2023!=2024!/2023!·1011!/1012!

Учитывая, что 2024!=2024·2023! и 1012!=1012·1011!, получаем:

C10122024/C10112023=2024·1/1012=2024/1012=2

Шаг 3. Вычислим итоговое отношение и сделаем вывод

Подставим найденное значение отношения биномиальных коэффициентов обратно в формулу для отношения вероятностей:

P₁/P₂=2·1/2=1

Так как отношение вероятностей равно 1, это означает, что P₁=P₂.

Проверка логики: В задаче сравнивается вероятность «ровно половины» при чётном числе бросаний (2024) и вероятность «почти половины» (1011 из 2023). Из свойств распределения Бернулли известно, что максимальная вероятность достигается при k≈np. Для n=2023 пик находится между 1011 и 1012. Увеличение числа испытаний на 1 с сохранением доли успеха около 0.5 приводит к тому, что знаменатель степени двойки растёт, но число комбинаций также растёт пропорционально. В данном конкретном случае эти изменения компенсируют друг друга идеально.

Ответ: Вероятности равны.

Ответ

Вероятности равны

Задача требует сравнения двух вероятностей в схеме Бернулли. Ключевой момент — использование формулы для биномиального коэффициента и сокращение факториалов. Отношение P₁/P₂ оказывается равным единице, что свидетельствует о равенстве вероятностей.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 266 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 266?

Краткий ответ: Вероятности равны.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Серия независимых испытаний Бернулли.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.