10–11 классы Серия независимых испытаний Бернулли § 26. Серия независимых испытаний Бернулли

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 270: Серия независимых испытаний Бернулли

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Екатерина Новикова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 269 271 →

Условие

Игральную кость бросили 10 раз. Известно, что двойка выпала трижды. Найдите вероятность того, что в первых 5 бросаниях

а) не было ни одной двойки

б) была ровно 1 двойка

в) выпало 2 двойки

г) двойка выпала трижды.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче мы имеем дело с условной вероятностью. Общее количество двойок в 10 бросаниях фиксировано и равно 3. Нам нужно найти вероятность распределения этих трёх двойок между первыми 5 бросаниями и последними 5 бросаниями.

Шаг 1. Определение общего числа исходов

Пусть событие A — это то, что в 10 бросаниях выпало ровно три двойки. Количество способов выбрать позиции для этих трёх двоек из десяти возможных определяется числом сочетаний:

N=C310=10!/3!(10-3)!=10·9·8/3·2·1=120

Таким образом, всего существует 120 равновероятных вариантов расположения трёх двоек среди десяти бросаний.

Шаг 2. Решение пункта а)

Найдём вероятность того, что в первых 5 бросаниях не было ни одной двойки. Это означает, что все 3 двойки выпали во вторых 5 бросаниях (в позициях с 6 по 10).

Количество благоприятных исходов m_a равно числу способов выбрать 3 позиции для двоек из последних 5 бросаний:

m_a=C35=5!/3!2!=5·4/2·1=10

Вероятность события равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов:

P(a)=m_a/N=10/120=1/12≈0,083

Шаг 3. Решение пункта б)

Найдём вероятность того, что в первых 5 бросаниях была ровно 1 двойка. Тогда оставшиеся 2 двойки должны выпасть во вторых 5 бросаниях.

Количество благоприятных исходов m_b вычисляется как произведение числа способов выбрать 1 позицию для двойки из первых 5 бросаний на число способов выбрать 2 позиции для двоек из последних 5 бросаний:

m_b=C15·C25=5·5·4/2·1=5·10=50

Искомая вероятность:

P(b)=m_b/N=50/120=5/12≈0,417

Шаг 4. Решение пункта в)

Найдём вероятность того, что в первых 5 бросаниях выпало 2 двойки. Следовательно, оставшаяся 1 двойка выпала во вторых 5 бросаниях.

Количество благоприятных исходов m_c:

m_c=C25·C15=10·5=50

Искомая вероятность:

P(c)=m_c/N=50/120=5/12≈0,417

Шаг 5. Решение пункта г)

Найдём вероятность того, что в первых 5 бросаниях двойка выпала трижды. Это означает, что все 3 двойки находятся в первых пяти позициях, а во вторых пяти бросаниях двоек нет.

Количество благоприятных исходов m_d:

m_d=C35·C05=10·1=10

Искомая вероятность:

P(d)=m_d/N=10/120=1/12≈0,083

Шаг 6. Проверка результата

Сумма вероятностей всех возможных случаев распределения трёх двоек между двумя группами по пять бросаний должна быть равна 1. Возможные варианты количества двоек в первой группе: 0,1,2,3.

P(0)+P(1)+P(2)+P(3)=10/120+50/120+50/120+10/120=120/120=1

Проверка пройдена успешно. Результаты совпадают с ключом учебника.

Ответ

а) 0,083

б) 0,417

в) 0,417

г) 0,083

Задача решается методом классической вероятности с использованием формулы гипергеометрического распределения (или просто комбинаторики). Ключевой момент — понимание того, что общее число успешных испытаний (двоек) уже известно и фиксировано (k=3), поэтому мы выбираем места для этих двоек из общего числа бросаний (n=10).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 270 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 270?

Краткий ответ: а) 0,083 б) 0,417 в) 0,417 г) 0,083.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Серия независимых испытаний Бернулли.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.