10–11 классы Серия независимых испытаний Бернулли § 26. Серия независимых испытаний Бернулли

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 272: Серия независимых испытаний Бернулли

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Сергей Мишин, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 271 273 →

Условие

В ящике хранились 3 белые и 6 красных луковиц тюльпанов (на вид неотличимы). Все высадили, ростки дали только 5 луковиц. Вероятности прорастания для всех одинаковы. Найдите вероятность того, что среди проросших луковиц

а) не больше 1 белой

б) от 2 до 4 красных.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Задача относится к теме «Серия независимых испытаний Бернулли», но с важным уточнением: испытания здесь не являются независимыми в классическом смысле (выборка без возвращения из конечной совокупности). Однако, поскольку мы выбираем фиксированное количество ростков (5) из общего числа луковиц (9), и все они равновероятны, эта задача решается через классическое определение вероятности или формулу гипергеометрического распределения. Формула Бернулли Cknp^kq^n-k применима только при выборке с возвращением или бесконечной генеральной совокупности. Здесь же у нас есть конкретный состав ящика.

Шаг 1. Определение параметров задачи

Всего луковиц: N=3+6=9.
Белых луковиц: K=3.
Красных луковиц: M=6.
Проросло (выбрано): n=5.
Вероятность того, что конкретная комбинация из 5 проростков будет именно такой, одинакова для всех возможных комбинаций. Поэтому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Общее число способов выбрать 5 проростков из 9 луковиц вычисляется по формуле сочетаний:

C59=9!/5!(9-5)!=9·8·7·6/4·3·2·1=126

Итак, всего 126 равновероятных исходов.

Шаг 2. Решение пункта а)

Условие: среди проросших луковиц не больше 1 белой .
Это означает два случая:
1) Проросло ровно 0 белых (значит, 5 красных).
2) Проросло ровно 1 белая (значит, 4 красных).

Рассмотрим случай 1: 0 белых, 5 красных.
Число способов выбрать 0 белых из 3: C03=1.
Число способов выбрать 5 красных из 6: C56=C16=6.
Благоприятных исходов для этого случая: 1·6=6.

Рассмотрим случай 2: 1 белая, 4 красных.
Число способов выбрать 1 белую из 3: C13=3.
Число способов выбрать 4 красных из 6: C46=C26=6·5/2=15.
Благоприятных исходов для этого случая: 3·15=45.

Суммарное число благоприятных исходов для пункта а):
m_a=6+45=51.

Вероятность события А:
P(A)=m_a/N_total=51/126 Сократим дробь на 3:
51/126=17/42≈0,40476... Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,405.

Шаг 3. Решение пункта б)

Условие: среди проросших луковиц от 2 до 4 красных .
Так как всего проросло 5 луковиц, то если красных k, то белых 5-k.
Диапазон красных: k∈{2,3,4}.

Рассмотрим каждый случай отдельно:

Случай 1: 2 красных, 3 белых.
Выбираем 2 красных из 6: C26=15.
Выбираем 3 белых из 3: C33=1.
Исходов: 15·1=15.
Случай 2: 3 красных, 2 белых.
Выбираем 3 красных из 6: C36=6·5·4/3·2·1=20.
Выбираем 2 белых из 3: C23=3.
Исходов: 20·3=60.
Случай 3: 4 красных, 1 белый.
Выбираем 4 красных из 6: C46=15.
Выбираем 1 белого из 3: C13=3.
Исходов: 15·3=45.

Суммарное число благоприятных исходов для пункта б):
m_b=15+60+45=120.

Вероятность события Б:
P(B)=m_b/N_total=120/126 Сократим дробь на 6:
120/126=20/21≈0,95238... Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,952.

Проверка и примечание

Заметим, что сумма вероятностей всех возможных исходов должна быть равна 1.
Возможные количества белых в выборке из 5 штук при наличии 3 белых и 6 красных:
- 0 белых (5 красных): 6 исходов.
- 1 белый (4 красных): 45 исходов.
- 2 белых (3 красных): 60 исходов.
- 3 белых (2 красных): 15 исходов.
Всего: 6+45+60+15=126. Всё сходится.

Пункт а) охватывает случаи 0 и 1 белой: 6+45=51. Вероятность 51/126≈0,405.
Пункт б) охватывает случаи 2,3,4 красных. Это соответствует 3,2,1 белым соответственно.
Случай 2 красных (3 белых): 15 исходов.
Случай 3 красных (2 белых): 60 исходов.
Случай 4 красных (1 белый): 45 исходов.
Сумма: 15+60+45=120. Вероятность 120/126≈0,952.

Ответы совпадают с ключом учебника.

Ответ

а) 0,405

б) 0,952

Задача формально названа темой серии Бернулли, но фактически является задачей на классическую вероятность (гипергеометрическое распределение), так как выборка производится без возвращения из конечного множества. Применение формулы Бернулли было бы ошибкой, если не учитывать изменение вероятностей на каждом шаге. Решение построено на подсчёте сочетаний.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 272 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 272?

Краткий ответ: а) 0,405; б) 0,952.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Серия независимых испытаний Бернулли.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.