10–11 классы Серия независимых испытаний Бернулли § 26. Серия независимых испытаний Бернулли

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 268: Серия независимых испытаний Бернулли

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Екатерина Новикова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 267 269 →

Условие

В коробке находится 11 ручек: 4 красные и остальные синие. Наугад забирают 5 ручек. Найдите вероятность того, что среди них

а) ровно 2 синие

б) ровно 3 синие

в) все 5 синие

г) не все красные.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче мы имеем дело с классическим определением вероятности и комбинаторикой. Поскольку ручки забираются без возвращения, это не серия независимых испытаний Бернулли в строгом смысле (где вероятность успеха постоянна), а задача на гипергеометрическое распределение или просто подсчёт благоприятных исходов через сочетания.

Шаг 1. Анализ условия и подготовка данных

Всего ручек: N=11.

Красных ручек: K_red=4.

Синих ручек: K_blue=11-4=7.

Выбираем ручек: n=5.

Общее количество способов выбрать 5 ручек из 11 равно числу сочетаний из 11 по 5:

C511=11!/5!(11-5)!=11·10·9·8·7/5·4·3·2·1

Вычислим знаменатель: 5·4·3·2·1=120.

Числитель: 11·10·9·8·7=55440.

Итого общее число исходов: 55440/120=462.

Шаг 2. Решение пункта а) Ровно 2 синие ручки

Если среди выбранных 5 ручек ровно 2 синие, то остальные 5-2=3 ручки должны быть красными.

Количество способов выбрать 2 синие ручки из 7 имеющихся:

C27=7·6/2·1=21

Количество способов выбрать 3 красные ручки из 4 имеющихся:

C34=4·3·2/3·2·1=4

По правилу произведения, количество благоприятных исходов для события «ровно 2 синие»:

m_a=21·4=84

Вероятность события:

P(A)=m_a/C511=84/462

Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 42:

84/462=2/11≈0,1818...

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,182.

Шаг 3. Решение пункта б) Ровно 3 синие ручки

Если среди выбранных 5 ручек ровно 3 синие, то остальные 5-3=2 ручки должны быть красными.

Количество способов выбрать 3 синие ручки из 7:

C37=7·6·5/3·2·1=35

Количество способов выбрать 2 красные ручки из 4:

C24=4·3/2·1=6

Количество благоприятных исходов:

m_b=35·6=210

Вероятность события:

P(B)=210/462

Сократим дробь. Разделим на 42:

210/462=5/11≈0,4545...

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,455.

Шаг 4. Решение пункта в) Все 5 синие ручки

Если все 5 ручек синие, то красных ручек среди них нет (0 штук).

Количество способов выбрать 5 синих ручек из 7:

C57=C27=21

Количество способов выбрать 0 красных ручек из 4:

C04=1

Количество благоприятных исходов:

m_c=21·1=21

Вероятность события:

P(C)=21/462

Сократим дробь. Разделим на 21:

21/462=1/22≈0,04545...

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,045.

Шаг 5. Решение пункта г) Не все красные

Событие «не все красные» является противоположным к событию «все красные».

Проверим возможность события «все красные». Нам нужно выбрать 5 ручек, и все они должны быть красными. Однако в коробке всего 4 красные ручки. Невозможно выбрать 5 красных ручек, если их только 4.

Таким образом, количество способов выбрать 5 красных ручек равно нулю:

C54=0

Вероятность того, что все ручки красные:

P(все красные)=0/462=0

Тогда вероятность противоположного события «не все красные» равна:

P(D)=1-P(все красные)=1-0=1

Это логично: при выборе 5 ручек из набора, где красных меньше 5, хотя бы одна ручка обязательно будет синей. Значит, ситуация «все красные» невозможна, а событие «не все красные» достоверно.

Ответ

а) 0,182

б) 0,455

в) 0,045

г) 1

Задача решается методом комбинаторики (классическое определение вероятности). Общее число исходов C511=462. Для каждого пункта вычисляется число благоприятных исходов как произведение сочетаний для синих и красных ручек. Пункт 'г' является тривиальным, так как выборка больше количества красных ручек.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 268 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 268?

Краткий ответ: а) 0,182 б) 0,455 в) 0,045 г) 1.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Серия независимых испытаний Бернулли.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.