10–11 классы 27 Случайный выбор из конечной совокупности

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 267: 27 Случайный выбор из конечной совокупности

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Илья Морозов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 266 268 →

Условие

Кассир складывает монеты в два столбика по 10 пятирублёвых монет. Положение каждой монеты (орёл или решка) случайно. Найти вероятность того, что поровну монет лежат орлом вверх.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче мы рассматриваем случайный выбор из конечной совокупности. У нас есть 20 монет (два столбика по 10), каждая из которых может лежать либо орлом вверх, либо решкой вверх с равной вероятностью. Нам нужно найти вероятность того, что ровно половина всех монет (10 штук) лежит орлом вверх.

Шаг 1. Определение общего числа исходов

Каждая из 20 монет имеет 2 возможных положения: орёл или решка. Поскольку положение каждой монеты случайно и независимо от других, общее число равновероятных элементарных исходов вычисляется как произведение вариантов для каждой монеты:

n=2²⁰

Вычислим это значение:

2¹⁰=1024 2²⁰=1024·1024=1 048 576

Таким образом, всего существует 1 048 576 различных способов расположения монет.

Шаг 2. Подсчёт благоприятных исходов

Благоприятным исходом считается тот случай, когда ровно 10 монет лежат орлом вверх (и, соответственно, остальные 10 — решкой). Чтобы выбрать, какие именно 10 монет из 20 будут лежать орлом, используем формулу биномиальных коэффициентов (число сочетаний):

m=C1020=20!/10!·(20-10)!=20!/10!·10!

Раскроем факториалы для упрощения вычислений:

C1020=20·19·18·17·16·15·14·13·12·11/10·9·8·7·6·5·4·3·2·1

Сократим дробь:

20/(10·2)=1
18/(9·?) лучше сократить последовательно:
10·2=20, сокращаем с 20.
9·2=18, но 2 уже нет. Давайте проще:
Знаменатель: 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1
Числитель: 20·19·18·17·16·15·14·13·12·11

Выполним сокращения:

20/10·2=1 (остались 19·18… в числителе, 9·8… в знаменателе без 10,2) 18/9=2 16/8=2 14/7=2 12/6=2 15/5=3 ?/4·3·1 Остались в знаменателе 4,3,1. В числителе остались множители после сокращений: 19,2(от 18/9),17,2(от 16/8),3(от 15/5),2(от 14/7),13,2(от 12/6),11. Итого в числителе сейчас: 19·2·17·2·3·2·13·2·11. В знаменателе осталось: 4·3·1=12. Сократим 3 из числителя и знаменателя: Осталось в знаменателе 4. В числителе имеем четыре двойки: 2·2·2·2=16. Сокращаем 16 на 4, получаем 4. Теперь перемножим оставшиеся числа в числителе: 19·17·13·11·4 Считаем по частям: 19·17=323 13·11=143 323·143=46 189 46 189·4=184 756

Таким образом, число благоприятных исходов m=184 756.

Шаг 3. Вычисление вероятности

Вероятность события A (поровну монет орлом) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P(A)=m/n=184 756/1 048 576

Выполним деление:

P(A)≈0,176197...

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,176.

Проверка

Можно оценить результат через приближённую формулу Стирлинга или нормальное распределение. Для большого N вероятность получить ровно N/2 успехов при p=0,5 приблизительно равна 2/πN. При N=20:

2/3,14·20=2/62,8≈0,0318≈0,178

Полученное точное значение 0,176 очень близко к оценке, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ

0,176

Задача сводится к классической схеме Бернулли с n=20 испытаниями и k=10 успехами. Общий объём пространства элементарных событий равен 2²⁰. Число благоприятных исходов определяется биномиальным коэффициентом C1020. Вероятность вычисляется как отношение этих величин.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 267 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 267?

Краткий ответ: 0,176.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 27 Случайный выбор из конечной совокупности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.