ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 269: Серия независимых испытаний Бернулли
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Вера Лапина, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Симметричную монету бросили 12 раз. Известно, что орёл выпал 5 раз. Найдите вероятность того, что среди первых 6 бросаний выпало ровно
а) 2 орла
б) 2 решки
в) 3 орла
г) 3 решки.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче мы имеем дело с условной вероятностью. Общее количество исходов бросания монеты фиксировано: орёл выпал ровно 5 раз из 12. Нам нужно найти вероятность того, что среди первых 6 бросаний произошло определённое событие (например, выпало k орлов), при условии, что всего орлов 5.
Шаг 1. Определение пространства элементарных событий
Пусть N=12 — общее число бросаний, K=5 — общее число выпавших орлов. Мы выбираем позиции для этих 5 орлов из 12 возможных мест. Общее число способов распределить 5 орлов по 12 позициям равно числу сочетаний:
n=C512=12!/5!(12-5)!=12·11·10·9·8/5·4·3·2·1=792Таким образом, всего существует 792 равновероятных исходов, удовлетворяющих условию «орёл выпал 5 раз».
Шаг 2. Формула гипергеометрического распределения
Разобьём все 12 позиций на две группы: первые 6 бросаний и последние 6 бросаний. Пусть в первой группе выпало k орлов. Тогда во второй группе должно выпасть 5-k орлов. Число благоприятных исходов для конкретного значения k вычисляется как произведение числа способов выбрать k орлов из первых 6 позиций на число способов выбрать оставшиеся 5-k орлов из последних 6 позиций:
mk=Ck6·C5-k6Искомая вероятность равна:
P(k)=Ck6·C5-k6/C512Шаг 3. Решение пункта а) Ровно 2 орла в первых 6 бросаниях
Здесь k=2. Значит, во вторых 6 бросаниях должно быть 5-2=3 орла. Вычислим число благоприятных исходов:
m2=C26·C36 C26=6·5/2·1=15 C36=6·5·4/3·2·1=20 m2=15·20=300Вероятность:
P(a)=300/792=25/66≈0,37878...Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,379.
Шаг 4. Решение пункта б) Ровно 2 решки в первых 6 бросаниях
Если в первых 6 бросаниях выпало 2 решки, то значит, там выпало 6-2=4 орла. То есть нам нужно найти вероятность события k=4 (ровно 4 орла в первых 6 бросаниях). Во вторых 6 бросаниях тогда будет 5-4=1 орёл. Вычислим число благоприятных исходов:
m4=C46·C16 C46=C26=15 C16=6 m4=15·6=90Вероятность:
P(b)=90/792=5/44≈0,11363...Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,114.
Шаг 5. Решение пункта в) Ровно 3 орла в первых 6 бросаниях
Здесь k=3. Во вторых 6 бросаниях должно быть 5-3=2 орла. Вычислим число благоприятных исходов:
m3=C36·C26 Мы уже считали эти значения: C36=20, C26=15. m3=20·15=300Вероятность:
P(c)=300/792=25/66≈0,379Заметим, что результат совпадает с пунктом а). Это логично, так как симметрия задачи приводит к тому, что вероятность получить 2 орла в первой половине равна вероятности получить 3 орла в первой половине (при общем количестве 5 орлов).
Шаг 6. Решение пункта г) Ровно 3 решки в первых 6 бросаниях
Если в первых 6 бросаниях выпало 3 решки, то значит, там выпало 6-3=3 орла. Это тот же самый случай, что и в пункте в) (k=3). Следовательно, вероятность будет такой же:
P(d)=P(c)≈0,379Ответы
- а) 0,379
- б) 0,114
- в) 0,379
- г) 0,379
а) 0,379
б) 0,114
в) 0,379
г) 0,379
Задача решается через формулу гипергеометрического распределения (условная вероятность). Ключ учебника содержит ошибку в пункте в): он указывает 0,379, что верно, но иногда в таких задачах путают пункты или дают неверные округления. В данном случае расчеты подтверждают ключ для а, б, в, г. Пункт в) и г) идентичны по смыслу (3 орла = 3 решки при 6 бросках? Нет, 3 решки означают 3 орла. Да, верно).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 269 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 269?
Краткий ответ: а) 0,379 б) 0,114 в) 0,379 г) 0,379.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Серия независимых испытаний Бернулли.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.