10–11 классы Случайная величина и распределение вероятностей § 28. Случайная величина и распределение вероятностей

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 297: Случайная величина и распределение вероятностей

Q: Это точный номер 297 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Q: Какой ответ в задании 297?

Краткий ответ: а) pmatrix 0 & 1 \\ 1-pq^7 & pq^7 pmatrix б) pmatrix 0 & 1 \\ 1-q^3 & q^3 pmatrix.

Q: Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Q: Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 28. Случайная величина и распределение вероятностей.

Q: Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Мария Волкова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 296 298 →

Условие

Проводится серия испытаний до первого успеха с вероятностью успеха p и вероятностью неудачи q=1-p в каждой отдельной попытке. Запишите распределение бинарной случайной величины I_A, которая является индикатором события A

а) «успех наступил при восьмой попытке»

б) «потребовалось не менее четырёх попыток».

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решение задачи №297

В данной задаче рассматривается серия независимых испытаний Бернулли до первого успеха. Вероятность успеха в одном испытании равна p, вероятность неудачи — q=1-p. Нам нужно найти распределение вероятностей для двух бинарных случайных величин (индикаторов событий).

Шаг 1. Анализ пункта а)

Событие A определяется как «успех наступил при восьмой попытке». Случайная величина I_A принимает значение 1, если событие A произошло, и 0, если оно не произошло.

Чтобы успех наступил именно на 8-й попытке, необходимо выполнение двух условий:

Первые 7 попыток должны быть неудачными. Вероятность этого события равна q⁷.
8-я попытка должна быть успешной. Вероятность этого события равна p.

Так как испытания независимы, вероятность того, что успех наступит ровно на 8-й попытке, равна произведению вероятностей этих событий:

P(I_A=1)=q⁷·p=pq⁷

Вероятность противоположного события (I_A=0), то есть того, что успех не наступил на 8-й попытке (это может быть либо раньше, либо позже, либо вообще не наступить в рамках логики индикатора конкретного момента времени), вычисляется через сумму вероятностей или дополнение до единицы. Однако важно понимать контекст: обычно в таких задачах под «распределением» подразумевается таблица значений величины и их вероятностей. Значения величины I_A: 0 и 1.

Вероятность того, что событие A не произошло (I_A=0), равна:

P(I_A=0)=1-P(I_A=1)=1-pq⁷

Таким образом, закон распределения имеет вид:

I_A	0	1
P	1-pq⁷	pq⁷

Шаг 2. Анализ пункта б)

Событие B (обозначим его так для ясности, хотя в условии речь идет об индикаторе события «потребовалось не менее четырёх попыток») означает, что первые три попытки оказались неудачными. Если бы успех наступил на 1-й, 2-й или 3-й попытке, то потребовалось бы меньше четырех попыток.

Случайная величина I_B принимает значение 1, если потребовалось ≠4 попыток (то есть ββββ или βββββ и т.д.), и 0, если потребовалось <4 попыток (то есть успех на 1, 2 или 3 попытке).

Вычислим вероятность того, что потребуется не менее 4 попыток (I_B=1). Это эквивалентно тому, что первые 3 попытки были неудачами. Четвертая и последующие попытки могут быть любыми (главное условие уже выполнено первыми тремя неудачами).

Вероятность трех неудач подряд:

P(I_B=1)=q·q·q=q³

Вероятность того, что потребуется менее 4 попыток (I_B=0), то есть успех наступит на 1, 2 или 3 попытке:

P(I_B=0)=1-P(I_B=1)=1-q³

Проверка альтернативным методом: сумма вероятностей успеха на 1, 2 и 3 попытках:

P(успех на 1)+P(успех на 2)+P(успех на 3)=p+qp+q^2p=p(1+q+q²)

Так как 1-q³=(1-q)(1+q+q²)=p(1+q+q²), результат совпадает.

Закон распределения для пункта б):

I_B	0	1
P	1-q³	q³

Ответ

а)

0	1
1-pq^{7}	pq^{7}

б)

0	1
1-q^{3}	q^{3}

Для пункта а) ключевым является понимание, что событие 'успех на 8-й попытке' требует строгой последовательности НННННННУ. Для пункта б) событие 'не менее 4 попыток' означает только то, что первые 3 были неудачными, независимо от исхода 4-й и далее.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 297 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 297?

Краткий ответ: а) pmatrix 0 & 1 \\ 1-pq^7 & pq^7 pmatrix б) pmatrix 0 & 1 \\ 1-q^3 & q^3 pmatrix.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 28. Случайная величина и распределение вероятностей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.