10–11 классы Операции над случайными величинами § 29. Операции над случайными величинами

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 303: Операции над случайными величинами

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Дмитрий Орлов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 302 304 →

Условие

Дано распределение случайной величины Y:

-3	-1	1	3
0{,}42	0{,}08	0{,}4	0{,}1

. Составьте распределение случайной величины

а) 2Y

б) Y/2-1

в) Y²

г) |Y|+1.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи будем использовать свойства преобразований случайных величин. Если Y принимает значения y_i с вероятностями p_i, то новая случайная величина Z=f(Y) принимает значения z_i=f(y_i). Если разные исходные значения y_i дают одинаковое значение z_i, их вероятности складываются.

Шаг 1. Распределение величины а) 2Y

Умножим каждое значение Y на 2. Вероятности при этом не меняются, так как отображение y→2y является взаимно однозначным (разные y дают разные 2y).

y₁=-3⇒z₁=2·(-3)=-6, P(z₁)=0,42;
y₂=-1⇒z₂=2·(-1)=-2, P(z₂)=0,08;
y₃=1⇒z₃=2·1=2, P(z₃)=0,4;
y₄=3⇒z₄=2·3=6, P(z₄)=0,1.

Распределим полученные пары (z_i,p_i) в порядке возрастания значений:

-6	-2	2	6
0{,}42	0{,}08	0{,}4	0{,}1

Шаг 2. Распределение величины б) Y/2-1

Вычислим новое значение для каждого y_i по формуле z_i=y_i/2-1. Отображение также взаимно однозначно, поэтому вероятности сохраняются.

y₁=-3⇒z₁=-3/2-1=-1,5-1=-2,5, P=0,42;
y₂=-1⇒z₂=-1/2-1=-0,5-1=-1,5, P=0,08;
y₃=1⇒z₃=1/2-1=0,5-1=-0,5, P=0,4;
y₄=3⇒z₄=3/2-1=1,5-1=0,5, P=0,1.

Запишем распределение:

-2{,}5	-1{,}5	-0{,}5	0{,}5
0{,}42	0{,}08	0{,}4	0{,}1

Шаг 3. Распределение величины в) Y²

Возведём значения Y в квадрат. Здесь важно заметить, что разные значения Y могут дать одно и то же значение Y² (например, (-3)²=3²=9). В таком случае соответствующие вероятности нужно сложить.

y₁=-3⇒y21=9;
y₂=-1⇒y22=1;
y₃=1⇒y23=1;
y₄=3⇒y24=9.

Группируем по полученным значениям квадрата:

Значение 1: получается из y=-1 и y=1. Вероятность: P(Y²=1)=P(Y=-1)+P(Y=1)=0,08+0,4=0,48.
Значение 9: получается из y=-3 и y=3. Вероятность: P(Y²=9)=P(Y=-3)+P(Y=3)=0,42+0,1=0,52.

Проверка суммы вероятностей: 0,48+0,52=1. Всё верно.

Искомое распределение:

1	9
0{,}48	0{,}52

Шаг 4. Распределение величины г) |Y|+1

Сначала найдём модуль каждого значения Y, затем прибавим к нему единицу. Аналогично пункту в), симметричные значения Y дадут одинаковый результат.

y₁=-3⇒|y₁|=3⇒z₁=3+1=4;
y₂=-1⇒|y₂|=1⇒z₂=1+1=2;
y₃=1⇒|y₃|=1⇒z₃=1+1=2;
y₄=3⇒|y₄|=3⇒z₄=3+1=4.

Группируем по полученным значениям:

Значение 2: получается из y=-1 и y=1. Вероятность: P(|Y|+1=2)=0,08+0,4=0,48.
Значение 4: получается из y=-3 и y=3. Вероятность: P(|Y|+1=4)=0,42+0,1=0,52.

Проверка суммы вероятностей: 0,48+0,52=1.

Искомое распределение:

2	4
0{,}48	0{,}52

Ответ

а) $ $\begin{pmatrix} -6$ & -2 & 2 & 6 \\ 0{,}42 & 0{,}08 & 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix} б) $\begin{pmatrix} -2${,}5 & -1{,}5 & -0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}42 & 0{,}08 & 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix} в) \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 0{,}48 & 0{,}52 \end{pmatrix} г) \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0{,}48 & 0{,}52 \end{pmatrix} $

В пунктах в) и г) происходит объединение событий, так как функция не является инъективной (разные аргументы дают один результат). Поэтому вероятности складываются. В пунктах а) и б) функция линейная и монотонная, поэтому структура распределения сохраняется, меняются только значения.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 303 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 303?

Краткий ответ: а) pmatrix -6 & -2 & 2 & 6 \\ 0,42 & 0,08 & 0,4 & 0,1 pmatrix б) pmatrix -2,5 & -1,5 & -0,5 & 0,5 \\ 0,42 & 0,08 & 0,4 & 0,1 pmatrix в) pmatrix 1 & 9 \\ 0,48 & 0,52 pmatrix г) pmatrix 2 & 4 \\ 0,48 & 0,52 pmatrix.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 29. Операции над случайными величинами.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.