10–11 классы Геометрическое распределение и биномиальное распределение § 30. Геометрическое распределение и биномиальное распределение

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 310

Тема: Геометрическое распределение и биномиальное распределение

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Сергей Мишин, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 309 311 →

Условие

X — сумма цифр случайно выбранного двузначного натурального числа.

а) Составьте формулу распределения X.

б) Найдите вероятность P(X=10).

в) Найдите вероятность того, что X делится на 9.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решение задачи № 310

План решения:

Определим пространство элементарных исходов: все двузначные натуральные числа от 10 до 99. Всего таких чисел 90.
Введём обозначения для цифр числа. Пусть число имеет вид ab, где a∈{1,2,…,9} — первая цифра (десятки), а b∈{0,1,…,9} — вторая цифра (единицы).
Случайная величина X=a+b принимает значения от минимальной суммы (1+0=1) до максимальной (9+9=18). То есть X∈{1,2,…,18}.
Для каждого возможного значения k найдём количество пар (a,b), дающих сумму k, и вычислим вероятность как отношение этого количества к общему числу исходов (90).

Шаг 1. Вывод формулы распределения P(X=k)

Нам нужно найти количество решений уравнения a+b=k при ограничениях 1≤a≤9 и 0≤b≤9.

Рассмотрим поведение функции количества благоприятных исходов N_k в зависимости от k:

При малых k (от 1 до 9): так как a≥1, то b=k-a. Чтобы b≥0, нужно a≤k. Также a≤9. Значит, a может принимать значения 1,2,…,k. Количество вариантов равно k.
При больших k (от 10 до 18): ограничение на b становится активным (b≤9). Из a+b=k следует a=k-b. Так как b≥0, то a≤k. Но главное ограничение сверху на a — это 9. А снизу a≥1. Однако удобнее считать через b: b=k-a. Так как b≤9, то k-a≤9⇒a≥k-9. И так как b≥0, то a≤k. Но a не может быть больше 9. Значит, a пробегает значения от k-9 до 9. Количество значений: 9-(k-9)+1=19-k.

Объединим эти случаи в одну формулу. Заметим, что график вероятности симметричен относительно середины диапазона сумм. Минимум суммы 1, максимум 18. Середина: 1+18/2=9.5.

Количество благоприятных исходов можно записать как N_k=9.5-|9.5-k|? Проверим:

Если k=1: 9.5-|9.5-1|=9.5-8.5=1. Верно (1+0).
Если k=9: 9.5-|9.5-9|=9.5-0.5=9. Верно (1+8,…,9+0).
Если k=10: 9.5-|9.5-10|=9.5-0.5=9. Верно (1+9,…,9+1).
Если k=18: 9.5-|9.5-18|=9.5-8.5=1. Верно (9+9).

Таким образом, количество благоприятных исходов равно 9.5-|9.5-k|. Поскольку всего исходов 90, вероятность равна:

P(X=k)=9.5-|9.5-k|/90, k∈{1,2,…,18}

Ответ на пункт а) : Формула получена.

Шаг 2. Вычисление вероятности P(X=10)

Подставим k=10 в полученную формулу:

P(X=10)=9.5-|9.5-10|/90

Вычислим модуль:

|9.5-10|=|-0.5|=0.5

Тогда числитель:

9.5-0.5=9

Вероятность:

P(X=10)=9/90=1/10=0.1

Проверка перебором: пары (a,b) с суммой 10: (1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1). Всего 9 пар. 9/90=0.1. Всё верно.

Ответ на пункт б) : 0.1.

Шаг 3. Вероятность того, что X делится на 9

Случайная величина X принимает значения от 1 до 18. Нам нужны те значения k, которые делятся на 9 без остатка.

Перечислим такие значения:

k₁=9
k₂=18

Других кратных 9 в этом диапазоне нет (0 не входит, так как минимальная сумма цифр двузначного числа равна 1; 27 слишком много).

Найдём вероятности для этих случаев:

1) Для k=9:

P(X=9)=9.5-|9.5-9|/90=9.5-0.5/90=9/90=0.1

2) Для k=18:

P(X=18)=9.5-|9.5-18|/90=9.5-8.5/90=1/90

Так как события несовместны, сложим их вероятности:

P(X⋮9)=P(X=9)+P(X=18)=9/90+1/90=10/90=1/9

Ответ на пункт в) : 1/9.

Ответ

а) P(X=k)=9.5-|9.5-k|/90, где k∈{1,…,18}

б) 0.1

в) 1/9

Задача решается методом подсчёта благоприятных исходов в классическом определении вероятности. Пространство элементарных событий состоит из 90 двузначных чисел. Распределение суммы цифр является дискретным и симметричным относительно среднего значения. Ключевые моменты: правильный учёт ограничений на первую цифру (не может быть 0) и вторую цифру (может быть 0). Формула с модулем компактно описывает треугольное распределение.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 310 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 310?

Краткий ответ: а) P(X=k) = 9.5 - | 9.5 - k| 90, где k \1, , 18\ б) 0.1 в) 19.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 30. Геометрическое распределение и биномиальное распределение.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.