ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 315
Тема: Геометрическое распределение и биномиальное распределение
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Роман Жуков, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Производится серия независимых испытаний до первого успеха. Составьте распределение случайной величины Z («количество испытаний»), если вероятность успеха равна
а) p=0,4
б) p=1/3.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче рассматривается геометрическое распределение. Случайная величина Z принимает значения k=1,2,3,…, где k — номер испытания, в котором впервые наступил успех.
Формула вероятности того, что первый успех наступит ровно в k-м испытании, имеет вид:
P(Z=k)=(1-p)k-1·pгде p — вероятность успеха в одном испытании, а (1-p) — вероятность неудачи. Нам нужно подставить заданные значения p и упростить выражения для каждого пункта.
Шаг 1. Решение пункта а)
Дано: вероятность успеха p=0,4.
Сначала найдем вероятность неудачи q=1-p:
q=1-0,4=0,6Подставим значения p и q в формулу геометрического распределения:
P(Z=k)=(0,6)k-1·0,4Чтобы привести ответ к виду, похожему на ключ (обычно требуются целые числа в числителе и знаменателе), представим десятичные дроби как обыкновенные:
0,6=6/10=3/5, 0,4=4/10=2/5Тогда выражение примет вид:
P(Z=k)=(3/5)k-1·2/5Раскроем степень:
P(Z=k)=3k-1/5k-1·2/5=2·3k-1/5k-1·51=2·3k-1/5kТаким образом, закон распределения для пункта а):
P(Z=k)=2·3k-1/5k, k=1,2,3,…Шаг 2. Решение пункта б)
Дано: вероятность успеха p=1/3.
Найдем вероятность неудачи q=1-p:
q=1-1/3=2/3Подставим значения p и q в общую формулу:
P(Z=k)=(2/3)k-1·1/3Раскроем степень:
P(Z=k)=2k-1/3k-1·1/3=2k-1·1/3k-1·31=2k-1/3kТаким образом, закон распределения для пункта б):
P(Z=k)=2k-1/3k, k=1,2,3,…Шаг 3. Проверка результата
Для геометрического распределения сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Проверим это свойство для общего случая P(Z=k)=qk-1p.
Сумма ряда:
∑∞k=1P(Z=k)=∑∞k=1p·qk-1=p·(1+q+q2+…)Выражение в скобках — это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q<1. Её сумма равна 1/1-q.
Тогда общая сумма:
S=p·1/1-qТак как q=1-p, то 1-q=p. Следовательно:
S=p·1/p=1Условие нормировки выполняется, значит, формулы выведены верно.
а) P(Z=k)=2·3k-1/5k, где k=1,2,3,…
б) P(Z=k)=2k-1/3k, где k=1,2,3,…
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 315 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 315?
Краткий ответ: а) P(Z=k) = 2 · 3^k-15^k, где k=1, 2, 3, б) P(Z=k) = 2^k-13^k, где k=1, 2, 3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 30. Геометрическое распределение и биномиальное распределение.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.