ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 316
Тема: Геометрическое распределение и биномиальное распределение
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Мария Волкова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Баскетболист бросает мяч в корзину. Случайная величина Y — число бросков до первого попадания. Составьте таблицу распределения Y, если вероятность попадания равна
а) 0,2
б) 0,4.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче нас интересует число испытаний (бросков), необходимых для достижения первого успеха (попадания). Такая случайная величина подчиняется геометрическому распределению .
Шаг 1. Определение вероятностной модели
Пусть p — вероятность попадания в корзину при одном броске, а q=1-p — вероятность промаха.
Случайная величина Y принимает значения k=1,2,3,…, где k — номер броска, на котором произошло первое попадание.
Чтобы первое попадание случилось ровно на k-м броске, необходимо, чтобы первые k-1 бросков были промахами, а k-й бросок был попаданием. Поскольку броски независимы, вероятность такого события равна произведению вероятностей:
P(Y=k)=qk-1·pЭто и есть формула геометрического распределения.
Шаг 2. Решение пункта а)
Дано: вероятность попадания p=0,2.
Найдём вероятность промаха:
q=1-0,2=0,8Подставим значения в общую формулу:
P(Y=k)=0,8k-1·0,2Или, как принято записывать в таблицах распределения, вынесем константу p вперёд:
P(Y=k)=0,2·0,8k-1, k∈NТаблица распределения будет выглядеть следующим образом (приведены первые несколько значений):
| k | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
|---|---|---|---|---|---|
| P(Y=k) | 0,2 | 0,16 | 0,128 | 0,1024 | … |
Шаг 3. Решение пункта б)
Дано: вероятность попадания p=0,4.
Найдём вероятность промаха:
q=1-0,4=0,6Подставим значения в общую формулу геометрического распределения:
P(Y=k)=0,6k-1·0,4Запишем итоговую формулу:
P(Y=k)=0,4·0,6k-1, k∈NПримерные значения для первых нескольких бросков:
| k | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
|---|---|---|---|---|---|
| P(Y=k) | 0,4 | 0,24 | 0,144 | 0,0864 | … |
Шаг 4. Проверка результата
Для любого дискретного распределения сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Проверим это для общего случая геометрического распределения. Сумма образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом b1=p и знаменателем q (|q|<1).
S=∑∞k=1P(Y=k)=∑∞k=1p·qk-1=p/1-qТак как q=1-p, то 1-q=p. Следовательно:
S=p/p=1Условие нормировки выполняется, значит, формулы составлены верно.
а) P(Y=k)=0,2·0,8k-1, где k∈N
б) P(Y=k)=0,4·0,6k-1, где k∈N
Задача на применение геометрического распределения. Важно помнить, что Y — это номер испытания до первого успеха включительно. Формула P(Y=k) = p(1-p)^(k-1). В решении приведены таблицы с первыми значениями для наглядности.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 316 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 316?
Краткий ответ: а) P(Y=k) = 0,2 · 0,8^k-1, где k N; б) P(Y=k) = 0,4 · 0,6^k-1, где k N.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 30. Геометрическое распределение и биномиальное распределение.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.