10–11 классы Геометрическое распределение и биномиальное распределение § 30. Геометрическое распределение и биномиальное распределение

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 323

Тема: Геометрическое распределение и биномиальное распределение

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Вера Лапина, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 322 324 →

Условие

Случайная величина X подчиняется распределению G(0,8). Во сколько раз событие X=1 вероятнее, чем событие

а) X=2

б) X=5?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче нам нужно сравнить вероятности конкретных значений дискретной случайной величины X, которая имеет геометрическое распределение с параметром p=0,8. Параметр p в геометрическом распределении обычно обозначает вероятность успеха в одном испытании. Формула для вычисления вероятности того, что первый успех наступит ровно в момент времени k (то есть P(X=k)), выглядит следующим образом:

P(X=k)=(1-p)^k-1·p

Нам требуется найти отношение вероятности события X=1 к вероятностям событий X=2 и X=5. То есть мы должны вычислить значения выражений P(X=1)/P(X=2) и P(X=1)/P(X=5). Сначала найдем общую формулу для такого отношения.

Шаг 1. Вывод общей формулы для отношения вероятностей

Запишем вероятности для произвольных значений k₁ и k₂:

P(X=k₁)=(1-p)^k₁-1·p P(X=k₂)=(1-p)^k₂-1·p

Тогда отношение вероятности события X=k₁ к вероятности события X=k₂ равно:

P(X=k₁)/P(X=k₂)=(1-p)^k₁-1·p/(1-p)^k₂-1·p

Сокращаем на p и используем свойства степеней a^m/aⁿ=a^m-n:

P(X=k₁)/P(X=k₂)=(1-p)^{(k₁-1)-(k₂-1)}=(1-p)^k₁-k₂

В нашей задаче числитель всегда соответствует событию X=1, то есть k₁=1. Подставим это значение в полученную формулу:

P(X=1)/P(X=k)=(1-p)^1-k=1/(1-p)^k-1

Так как p=0,8, то вероятность неудачи q=1-p=1-0,8=0,2. Таким образом, искомое отношение можно записать как:

P(X=1)/P(X=k)=1/0,2^k-1=5^k-1

Мы получили удобную формулу: во сколько раз событие X=1 вероятнее события X=k, равно 5^k-1.

Шаг 2. Решение пункта а)

В пункте а) нас спрашивают, во сколько раз событие X=1 вероятнее события X=2. Здесь k=2.

Используем выведенную формулу:

P(X=1)/P(X=2)=5^2-1=5¹=5

Проверим расчеты напрямую через формулы вероятностей, чтобы убедиться в правильности:

P(X=1)=(1-0,8)^1-1·0,8=0,2⁰·0,8=1·0,8=0,8
P(X=2)=(1-0,8)^2-1·0,8=0,2¹·0,8=0,2·0,8=0,16
Отношение: 0,8/0,16=80/16=5

Ответ совпадает. Событие X=1 вероятнее события X=2 в 5 раз.

Шаг 3. Решение пункта б)

В пункте б) нас спрашивают, во сколько раз событие X=1 вероятнее события X=5. Здесь k=5.

Используем ту же формулу:

P(X=1)/P(X=5)=5^5-1=5⁴

Вычислим степень:

5⁴=5·5·5·5=25·25=625

Проверим расчеты напрямую:

P(X=1)=0,8 (как найдено выше)
P(X=5)=(1-0,8)^5-1·0,8=0,2⁴·0,8=0,0016·0,8=0,00128
Отношение: 0,8/0,00128=80000/128

Упростим дробь 80000/128:

80000/128=40000/64=20000/32=10000/16=5000/8=2500/4=625

Ответ совпадает. Событие X=1 вероятнее события X=5 в 625 раз.

Ответ

а) 5

б) 625

Для решения использовано свойство геометрического распределения. Вероятность P(X=k)=q^k-1p. Отношение P(X=1)/P(X=k)=1/q^}k-1. При p=0,8, q=0,2, поэтому 1/q=5. Ответы получены возведением 5 в степень (k-1).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 323 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 323?

Краткий ответ: а) 5 б) 625.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 30. Геометрическое распределение и биномиальное распределение.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.