ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 406
Тема: Дисперсия и стандартное отклонение биномиального и геометрического
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Алексей Широков, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Для случайной величины X с дисперсией DX определена центрированная и нормированная величина Z=X-EX/DX. Найти математическое ожидание и дисперсию величины Z.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче требуется найти характеристики новой случайной величины Z, которая получается из исходной величины X путём центрирования и нормирования. Нам дано определение: Z=X-EX/DX
Для решения воспользуемся основными свойствами математического ожидания и дисперсии:
- Линейность математического ожидания: E(aX+b)=aEX+b.
- Свойство дисперсии при умножении на константу: D(aX+b)=a2DX.
- Дисперсия постоянной равна нулю: D(C)=0.
Шаг 1. Нахождение математического ожидания EZ
Подставим выражение для Z в формулу математического ожидания. Обозначим константы a=1/DX и b=-EX/DX. Тогда Z=aX+b.
Используем линейность свойства:
EZ=E(X-EX/DX)=1/DXE(X-EX)Так как EX — это число (константа), то по свойству линейности E(X-C)=EX-C. В нашем случае константа равна EX:
E(X-EX)=EX-EX=0Следовательно:
EZ=1/DX·0=0Шаг 2. Нахождение дисперсии DZ
Теперь найдём дисперсию величины Z. Воспользуемся свойством вынесения множителя за знак дисперсии. Множитель перед скобкой (X-EX) равен 1/DX.
DZ=D(X-EX/DX)=D(1/DX·(X-EX))Выносим константу 1/DX за знак дисперсии, возводя её в квадрат:
DZ=(1/DX)2·D(X-EX)Упрощаем коэффициент:
(1/DX)2=1/DXРассмотрим выражение D(X-EX). Так как EX — постоянная величина, а сдвиг случайной величины на константу не меняет её разброса (дисперсии), то:
D(X-EX)=DXПодставляем полученные значения обратно в формулу для DZ:
DZ=1/DX·DX=1Шаг 3. Проверка и вывод
Мы получили, что математическое ожидание стандартизированной величины равно 0, а её дисперсия равна 1. Это соответствует определению стандартной нормальной (или просто стандартизированной) случайной величины, независимо от закона распределения исходной величины X (при условии, что DX>0).
Ответ подтверждён логически и алгебраически.
EZ=0; DZ=1
Задача является теоретической проверкой свойств центрирования и нормирования случайных величин. Ключевые моменты: использование линейности матожидания и того факта, что дисперсия не меняется при прибавлении/вычитании константы, но меняется при умножении на константу (квадратично).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 406 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 406?
Краткий ответ: EZ = 0; DZ = 1.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Дисперсия и стандартное отклонение биномиального и геометрического распределений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.