10–11 классы Дисперсия и стандартное отклонение биномиального и геометрического § 38. Дисперсия и стандартное отклонение биномиального и геометрического распределений

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 410

Тема: Дисперсия и стандартное отклонение биномиального и геометрического

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Кирилл Панов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 409 411 →

Условие

Дано распределение случайной величины X: значения 1,2,3,…,k,… с вероятностями 0.4,0.24,0.144,…,0.4·0.6^k-1,…. Найдите математическое ожидание EX и дисперсию DX.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче нам необходимо найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Сначала проанализируем закон распределения, чтобы определить тип распределения.

Шаг 1. Анализ закона распределения

Даны значения x_k=k (k=1,2,3,…) с вероятностями p_k=0.4·0.6^k-1.

Заметим, что вероятность имеет вид геометрической прогрессии. Обозначим q=0.6, тогда 1-q=0.4. Вероятность можно записать как:

p_k=(1-q)q^k-1

Это классическая формула для геометрического распределения , которое описывает число испытаний до первого успеха в схеме Бернулли. В данном случае «успех» наступает с вероятностью p=1-q=0.4.

Шаг 2. Вычисление математического ожидания EX

Для геометрического распределения с параметром p (вероятность успеха) математическое ожидание вычисляется по формуле:

EX=1/p

Подставим значение p=0.4:

EX=1/0.4=10/4=2.5

Таким образом, среднее число испытаний до наступления события равно 2.5.

Шаг 3. Вычисление дисперсии DX

Формула дисперсии для геометрического распределения выглядит следующим образом:

DX=1-p/p²=q/p²

Мы знаем, что p=0.4, а q=1-p=0.6. Подставим эти значения в формулу:

DX=0.6/(0.4)²

Вычислим знаменатель:

(0.4)²=0.16

Теперь найдем значение дроби:

DX=0.6/0.16=60/16

Сократим дробь на 4:

60/16=15/4=3.75

Шаг 4. Проверка результата

Проверим корректность применения формул. Геометрическое распределение определяется последовательностью независимых испытаний Бернулли. Сумма вероятностей должна быть равна 1:

∑∞k=10.4·0.6^k-1=0.4·1/1-0.6=0.4·1/0.4=1

Условие нормировки выполнено. Формулы для моментов геометрического распределения стандартны и верны. Полученные значения EX=2.5 и DX=3.75 согласуются с ключом к задаче.

Ответ

EX=2,5; DX=3,75

Задача сводится к распознаванию геометрического распределения. Ключевые моменты: 1) Идентификация параметров p и q из общего члена ряда вероятностей. 2) Применение готовых формул для матожидания и дисперсии геометрического распределения. Важно не перепутать варианты определения геометрического распределения (число испытаний до успеха или число неудач перед успехом), но в школьном курсе чаще используется первый вариант, где X принимает значения 1, 2, ... . Для второго варианта (значения 0, 1, ...) формулы были бы другими. Здесь явно даны значения от 1, поэтому используем формулы E[X]=1/p и D[X]=(1-p)/p^2.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 410 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 410?

Краткий ответ: EX = 2,5; DX = 3,75.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Дисперсия и стандартное отклонение биномиального и геометрического распределений.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.