ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 416
Тема: Дисперсия и стандартное отклонение биномиального и геометрического
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Роман Жуков, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
По узкому шоссе движутся 6 автомобилей, сбивающихся в группы из-за невозможности обгона. Всего групп X. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение этой величины.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи необходимо определить закон распределения случайной величины X — количества групп автомобилей. Поскольку автомобили движутся по узкому шоссе и не могут обгонять друг друга, они образуют группы (колонны). Каждая новая группа начинается с автомобиля, который едет медленнее предыдущего в своей группе или просто является первым в очереди. В классической задаче такого типа предполагается, что скорости автомобилей независимы и непрерывно распределены, поэтому вероятность того, что k-й автомобиль (k>1) станет началом новой группы, равна 1/k.
Шаг 1. Определение математического ожидания
Введём индикаторные случайные величины Ik, где k=1,2,…,n. Пусть I1=1 (первый автомобиль всегда начинает группу), а для k>1: Ik=1, если k-й автомобиль медленнее всех предыдущих (k-1) автомобилей (то есть становится лидером новой группы), и Ik=0 в противном случае.
Тогда общее число групп X равно сумме этих индикаторов: X=∑nk=1Ik
По свойству линейности математического ожидания: E(X)=∑nk=1E(Ik)
Математическое ожидание индикатора равно вероятности события: E(Ik)=P(Ik=1). Для первого автомобиля P(I1=1)=1. Для любого другого k-го автомобиля вероятность быть самым медленным среди первых k автомобилей равна 1/k (так как все перестановки скоростей равновероятны).
Таким образом, при n=6: E(X)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6
Вычислим сумму гармонического ряда:
- 1=1
- +0,5=1,5
- +0,333…≈1,833
- +0,25=2,083
- +0,2=2,283
- +0,166…≈2,45
Более точно: E(X)=60+30+20+15+12+10/60=147/60=2,45
Шаг 2. Вычисление дисперсии
Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий. Однако здесь величины Ik не являются независимыми в строгом смысле для произвольных событий, но для данного конкретного распределения (задача о «рекордах» или «лидерах») ковариации между различными Ij и Ik (j≠k) таковы, что формула дисперсии упрощается до суммы дисперсий индикаторов. Это известный факт для числа циклов в перестановке или числа записей.
Формула дисперсии: D(X)=∑nk=1D(Ik)
Дисперсия индикатора Бернулли с вероятностью успеха p равна p(1-p). Здесь pk=1/k.
Следовательно: D(Ik)=1/k(1-1/k)=k-1/k2
Рассчитаем дисперсию для каждого k от 1 до 6:
| k | pk=1/k | D(Ik)=pk(1-pk) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1·0=0 |
| 2 | 0,5 | 0,5·0,5=0,25 |
| 3 | 1/3 | 1/3·2/3=2/9≈0,2222 |
| 4 | 0,25 | 0,25·0,75=3/16=0,1875 |
| 5 | 0,2 | 0,2·0,8=4/25=0,16 |
| 6 | 1/6 | 1/6·5/6=5/36≈0,1389 |
Суммируем значения дисперсий:
D(X)=0+0,25+0,2222+0,1875+0,16+0,1389 D(X)≈0,9586Проверка через дроби:
D(X)=1/4+2/9+3/16+4/25+5/36 Общий знаменатель для проверки точности можно найти, но десятичное приближение достаточно для школьной задачи. Сложим точнее: 0,25+0,1875=0,4375 0,2222+0,1389=0,3611 0,4375+0,3611+0,16=0,9586Шаг 3. Стандартное отклонение
Стандартное отклонение σX равно квадратному корню из дисперсии:
σX=D(X)≈0,9586Вычислим значение:
0,9586≈0,9791Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,979.
Ответ: Математическое ожидание E(X)=2,45, стандартное отклонение σX≈0,979.
EX=2,45; sqrt(DX) ≈ 0,979
Задача сводится к нахождению характеристик распределения числа записей (или циклов) в случайной перестановке. Для n элементов математическое ожидание равно сумме обратных чисел от 1 до n (гармоническое число H_n). Дисперсия равна сумме произведений p_k(1-p_k), где p_k = 1/k. Расчёты выполнены для n=6.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 416 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 416?
Краткий ответ: EX = 2,45; sqrt(DX) ≈ 0,979.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Дисперсия и стандартное отклонение биномиального и геометрического распределений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.