ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 418: Неравенство Чебышёва

Неравенство Чебышёва гласит: для любой случайной величины X с математическим ожиданием M(X) и дисперсией D(X) выполняется:

В нашем случае бросание монеты — это схема Бернулли. Пусть n — число испытаний, p=0,5 — вероятность выпадения орла в одном испытании.

• Математическое ожидание числа орлов: M(X)=np.
• Дисперсия числа орлов: D(X)=np(1-p)=npq, где q=1-p=0,5.

Нам нужно сравнить вероятности попадания в интервалы вокруг среднего значения. Чем меньше верхняя граница вероятности отклонения (по Чебышёву), тем более «концентрированным» является распределение относительно среднего, и тем выше вероятность попасть в фиксированный абсолютный диапазон около среднего при увеличении n (если масштабировать appropriately). Однако здесь важно внимательно прочитать условие: сравниваются конкретные события.

При n=10 бросаниях:

• M(X₁)=10·0,5=5.
• D(X₁)=10·0,5·0,5=2,5.

Событие «выпадение ровно 5 орлов» можно рассматривать как попадание в узкий интервал вокруг среднего. Но неравенство Чебышёва обычно используют для оценки вероятностей вида |X-M(X)|<ε. Давайте оценим вероятность того, что результат будет близок к среднему. В условии спрашивается про точное значение 5. Строго говоря, неравенство Чебышёва дает оценку для интервалов. Для дискретных величин вероятность конкретного значения часто мала. Однако задача просит определить более вероятно , опираясь на свойства концентрации.

Давайте переформулируем задачу через призму относительного отклонения или ширины пика распределения. Распределение биномиально симметрично. Пик находится в среднем.

Рассмотрим вероятность попадания в интервал (M(X)-δ;M(X)+δ). При малом n распределение шире относительно среднего? Нет, давайте посмотрим на стандартное отклонение ρ=D.

• Для n=10: ρ₁=2,5≈1,58.
• Для n=100: ρ₂=100·0,25=25=5.

Вероятность выпадения ровно среднего значения в биномиальном распределении убывает с ростом n. Это известный факт: P(X=np)∼1/n. То есть вероятность получить ровно 5 из 10 больше, чем вероятность получить ровно 50 из 100.

Но задача ссылается на §39 «Неравенство Чебышёва». Возможно, имеется в виду не точное равенство, а близость к среднему? Или же вопрос поставлен так, чтобы проверить понимание того, что неравенство Чебышёва показывает концентрацию вероятности вокруг среднего при больших n?

Давайте перечитаем условие: «Без вычислений определите...». Обычно такие задачи в контексте неравенства Чебышёва иллюстрируют закон больших чисел. Неравенство Чебышёва доказывает, что частота событий стремится к вероятности. То есть отношение X/n концентрируется вокруг p.

Если мы рассматриваем событие X=n/2 (точное попадание в среднее), то его вероятность падает. Если мы рассматриваем событие «доля орлов близка к 0,5», то она растет.

Однако, в учебниках по статистике для 10-11 классов иногда под «вероятностью выпадения k орлов» подразумевают вероятность попадания в окрестность, или же это ловушка. Давайте проверим классическую логику задач этого типа. Часто спрашивают: что более вероятно, отклонение доли на 10% или на 1%? Здесь же даны конкретные числа: 5 из 10 и 50 из 100. Это оба являются точными средними значениями.

Вероятность P(X=k) для биномиального распределения максимальна при k≈np. Значение этой максимальной вероятности обратно пропорционально корню из n. Следовательно, P(X₁=5)>P(X₂=50).

Почему тогда тема «Неравенство Чебышёва»? Возможно, задача требует использовать неравенство для оценки вероятности отклонения ? Например, если бы спрашивали про интервалы. Но здесь точечные события.

Давайте рассмотрим альтернативную трактовку: может быть, речь идет о том, что неравенство Чебышёва гарантирует высокую вероятность попадания в широкий интервал при большом n? Нет, это не помогает выбрать между двумя точками.

Скорее всего, задача проверяет интуицию, которая часто противоречит строгому анализу, либо использует неравенство для доказательства того, что распределение становится более «размытым» в абсолютных единицах (стандартное отклонение растет), но более «узким» в относительных. Поскольку мы сравниваем абсолютные отклонения от нуля (или от среднего, которое равно нулю отклонению), то при большем n масса вероятности распределяется на большее количество исходов. Поэтому вероятность любого конкретного исхода (включая самый вероятный) уменьшается.

Ответ должен основываться на этом факте. Но как связать с неравенством Чебышёва? Неравенство Чебышёва можно записать как оценку снизу для вероятности попадания в интервал: P(|X-M(X)|<ε)≥1-D(X)/ε². Если взять очень маленький ε (например, шаг сетки дискретного распределения), то оценка становится тривиальной или отрицательной. Это не работает напрямую для точечных вероятностей.

Тем не менее, в школьной практике задача №418 (или аналогичные) часто имеет ответ: более вероятно выпадение 5 орлов при 10 бросаниях . Обоснование: при увеличении числа испытаний распределение расширяется (дисперсия растет), поэтому вероятность попадания в одну конкретную точку (даже самую центральную) снижается.

Сравним порядки величин без точного вычисления биномиальных коэффициентов, используя приближение Пуассона или нормальное приближение (которое следует из ЦПТ, тесно связанного с идеями Чебышёва).

Плотность нормального распределения в максимуме равна 1/2πD. Вероятность точки примерно равна плотности умноженной на шаг (1).

• Для n=10: D=2,5. Максимальная вероятность ∝1/2,5≈0,63.
• Для n=100: D=25. Максимальная вероятность ∝1/25=0,2.

Таким образом, вероятность получить ровно среднее значение во втором случае значительно меньше.

Хотя тема раздела — неравенство Чебышёва, оно служит фундаментом для понимания того, как ведет себя распределение при изменении параметров. Дисперсия D(X)=npq линейно зависит от n. Рост дисперсии означает «разброс» значений. Чем больше разброс, тем ниже пик распределения (при сохранении площади под графиком, равной 1).

Следовательно, более вероятно выпадение 5 орлов при 10 бросаниях.