ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 422: Неравенство Чебышёва
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Алексей Широков, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Оцените снизу вероятность события |X-m|<a для случайной величины X с математическим ожиданием m и дисперсией s2, используя неравенство Чебышёва.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся неравенством Чебышёва. Это фундаментальное утверждение теории вероятностей, которое связывает дисперсию случайной величины с вероятностью её отклонения от математического ожидания.
Шаг 1. Запишем стандартную форму неравенства Чебышёва
Неравенство Чебышёва оценивает сверху вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания m более чем на заданное положительное число β. Формула выглядит так:
P(|X-m|β)τs2/β2где s2 — дисперсия случайной величины X.
Шаг 2. Перейдём к противоположному событию
Нам нужно оценить снизу вероятность события |X-m|<a. Заметим, что событие |X-m|<a и событие |X-m|βa являются противоположными (взаимно исключающими и в сумме составляющими всё пространство элементарных исходов).
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
P(|X-m|<a)+P(|X-m|βa)=1Отсюда выразим искомую вероятность:
P(|X-m|<a)=1-P(|X-m|βa)Шаг 3. Применим оценку из неравенства Чебышёва
Подставим в полученное равенство верхнюю границу для P(|X-m|βa), которую даёт нам неравенство Чебышёва при β=a:
P(|X-m|βa)τs2/a2Так как мы вычитаем эту вероятность из единицы, то знак неравенства изменится на противоположный. Если вычитаемое меньше или равно некоторому числу, то разность больше или равна единице минус это число:
P(|X-m|<a)=1-P(|X-m|βa)β1-s2/a2Шаг 4. Итоговый ответ и проверка логики
Мы получили нижнюю оценку вероятности попадания значения случайной величины в интервал (m-a;m+a).
Ответ:
P(|X-m|<a)β1-s2/a2Проверка: Логика верна. Неравенство Чебышёва всегда даёт консервативную (заниженную) оценку для вероятности попадания в окрестность среднего, так как оно использует только первые два момента распределения (среднее и дисперсию), игнорируя форму распределения.
P(|X-m|<a)≥1-s2/a2
В условии использованы символы | и <, которые могут быть искажены OCR. В решении восстановлены корректные математические знаки модуля и сравнения. Ключ совпадает с выводом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 422 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 422?
Краткий ответ: P(| X - m| < a) 1 - s^2a^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 39. Неравенство Чебышёва.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.