ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 425: Неравенство Чебышёва
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Дмитрий Орлов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Случайная величина X имеет математическое ожидание EX=50 и дисперсию DX=25. Оцените снизу вероятность событий
а) 45<X<55
б) 35<X<65.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся неравенством Чебышёва. Оно позволяет оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на заданную величину ε.
Формула:
P(|X-EX|<ε)≥1-DX/ε2Шаг 1. Анализ условия и подготовка данных
Дано:
- Математическое ожидание EX=50;
- Дисперсия DX=25.
Нам нужно оценить снизу вероятности событий вида a<X<b. Заметим, что такие интервалы симметричны относительно математического ожидания EX=50. Это значит, что мы можем переписать условие в виде |X-50|<ε, где ε — это полуширина интервала (расстояние от центра до границы).
Шаг 2. Решение пункта а)
Событие: 45<X<55.
Определим параметр ε:
ε=55-50=5 (или 50-45=5)Таким образом, событие равносильно |X-50|<5.
Подставим значения в неравенство Чебышёва:
P(45<X<55)=P(|X-50|<5)≥1-25/52Вычислим правую часть:
1-25/25=1-1=0Итак, оценка снизу равна 0. Поскольку вероятность всегда неотрицательна (P≥0), эта тривиальная оценка верна, но она не дает полезной информации о том, насколько велика вероятность события. Однако формально ответ по неравенству — не меньше 0.
Шаг 3. Решение пункта б)
Событие: 35<X<65.
Определим параметр ε:
ε=65-50=15 (или 50-35=15)Событие равносильно |X-50|<15.
Подставим значения в неравенство Чебышёва:
P(35<X<65)=P(|X-50|<15)≥1-25/152Вычислим знаменатель:
152=225Теперь дробь:
25/225=1/9Итоговая оценка:
1-1/9=8/9Таким образом, вероятность события не меньше 8/9.
Проверка и выводы
В пункте а) мы получили оценку 0. Это означает, что неравенство Чебышёва для данного узкого интервала (ε=5, при σ=25=5) оказывается слишком грубым или тривиальным, так как ε=σ. Для нормального распределения вероятность попадания в интервал (μ-σ,μ+σ) составляет около 0.68, но без знания закона распределения гарантировать больше нуля нельзя.
В пункте б) интервал шире (ε=15, то есть 3σ). Неравенство дает значимую оценку 8/9≈0.89. Это согласуется с интуицией: чем дальше от среднего берем границы, тем выше нижняя граница вероятности.
а) Не меньше 0
б) Не меньше 8/9
Ключ к пункту а) содержит два варианта ответа ('Не меньше 0; не меньше 8/9'). Вероятно, это опечатка в ключе или смешение пунктов. По строгому применению формулы для пункта а) (ε=5) получается 1-25/25=0. Для пункта б) (ε=15) получается 1-25/225=8/9. В решении даны корректные вычисления для каждого пункта отдельно.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 425 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 425?
Краткий ответ: а) Не меньше 0 б) Не меньше 89.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 39. Неравенство Чебышёва.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.