ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 423: Неравенство Чебышёва
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Мария Волкова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Случайная величина X имеет математическое ожидание 5 и стандартное отклонение 1. Оцените вероятность событий
а) |X-5|≥3
б) 3<X<7.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся неравенством Чебышёва. Оно позволяет оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания больше чем на заданное значение β.
Формула неравенства:
P(|X-M(X)|β)D(X)/β2 где M(X) — математическое ожидание, D(X) — дисперсия, а β>0 — порог отклонения.Шаг 1. Выпишем данные и найдем дисперсию
По условию задачи нам даны характеристики случайной величины X:
- Математическое ожидание: M(X)=5;
- Стандартное отклонение: βX=1 (обозначим его как βstd для ясности).
В формуле Чебышёва используется дисперсия D(X). Дисперсия равна квадрату стандартного отклонения:
D(X)=(βstd)2=12=1Таким образом, у нас есть все параметры для подстановки в формулу: M(X)=5, D(X)=1.
Шаг 2. Решение пункта а)
Требуется оценить вероятность события |X-5|β3.
Сравним это с левой частью неравенства Чебышёва P(|X-M(X)|β). Видно, что M(X)=5, а порог отклонения β=3.
Подставим значения в правую часть неравенства:
P(|X-5|β3)D(X)/32=1/9Следовательно, вероятность того, что отклонение будет не менее 3, не превышает 1/9.
Шаг 3. Решение пункта б)
Требуется оценить вероятность события 3<X<7.
Преобразуем неравенство 3<X<7 к виду, удобному для применения теоремы о вероятности попадания в интервал вокруг математического ожидания.
Вычтем из всех частей математическое ожидание M(X)=5:
3-5<X-5<7-5 -2<X-5<2Это двойное неравенство эквивалентно модульному неравенству:
|X-5|<2Здесь мы видим событие «отклонение меньше 2». Неравенство Чебышёва дает оценку для события «отклонение больше или равно β»:
P(|X-5|β2)D(X)/22=1/4=0,25Вероятность противоположного события (отклонение строго меньше 2) равна единице минус вероятность исходного события:
P(|X-5|<2)=1-P(|X-5|β2)Так как P(|X-5|β2)β0,25, то:
P(3<X<7)=P(|X-5|<2)β1-0,25=0,75То есть вероятность попадания в интервал (3;7) не менее 0,75.
а) Не более 1/9
б) Не менее 0,75.
Использовано классическое неравенство Чебышёва. В пункте б важно перейти от интервала к модульному неравенству и использовать свойство вероятности противоположного события.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 423 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 423?
Краткий ответ: а) Не более 19; б) Не менее 0,75.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 39. Неравенство Чебышёва.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.