10–11 классы Неравенство Чебышёва § 39. Неравенство Чебышёва

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 419: Неравенство Чебышёва

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Роман Жуков, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 418 420 →

Условие

Сравните вероятность выпадения 2 орлов при 10 бросаниях монеты и вероятность выпадения 20 орлов при 100 бросаниях (без вычислений).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче требуется сравнить две вероятности без прямых вычислений. Для этого воспользуемся неравенством Чебышёва , которое связывает вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания с дисперсией этой величины.

Шаг 1. Анализ первой ситуации (10 бросаний)

Пусть X₁ — число выпадений орла при n₁=10 бросаниях монеты. Так как монета симметрична, вероятность успеха в одном испытании p=0,5.

Найдём параметры распределения:

Математическое ожидание: M(X₁)=n₁p=10·0,5=5.
Дисперсия: D(X₁)=n₁pq=10·0,5·0,5=2,5.

Нас интересует вероятность того, что выпадет ровно 2 орла, то есть P(X₁=2).

Заметим, что событие {X₁=2} является подмножеством события отклонения от среднего на величину не менее 3 единиц, так как |2-5|=3. То есть если выпало 2 орла, то отклонение равно 3. Следовательно, P(X₁=2)≤P(|X₁-M(X₁)|≥3).

По неравенству Чебышёва для любого β>0:

P(|X-M(X)|≥β)≤D(X)/β²

Подставим значения для первого случая (β=3):

P(|X₁-5|≥3)≤2,5/3²=2,5/9≈0,278

Таким образом, верхняя оценка вероятности P(X₁=2) равна примерно 0,278.

Шаг 2. Анализ второй ситуации (100 бросаний)

Пусть X₂ — число выпадений орла при n₂=100 бросаниях монеты.

Найдём параметры распределения:

Математическое ожидание: M(X₂)=n₂p=100·0,5=50.
Дисперсия: D(X₂)=n₂pq=100·0,5·0,5=25.

Нас интересует вероятность того, что выпадет ровно 20 орлов, то есть P(X₂=20).

Вычислим отклонение от среднего: |20-50|=30. Событие {X₂=20} входит в событие {|X₂-50|≥30}.

Применим неравенство Чебышёва с β=30:

P(|X₂-50|≥30)≤25/30²=25/900=1/36≈0,028

Таким образом, верхняя оценка вероятности P(X₂=20) равна примерно 0,028.

Шаг 3. Сравнение и вывод

Сравним полученные оценки сверху для искомых вероятностей:

Для 10 бросаний: P(X₁=2)≤2,5/9≈0,278.
Для 100 бросаний: P(X₂=20)≤1/36≈0,028.

Оценка для второго случая значительно меньше оценки для первого случая. Это согласуется с интуитивным пониманием закона больших чисел: чем больше испытаний, тем сильнее концентрация значений вокруг математического ожидания, и тем менее вероятны большие относительные отклонения (в данном случае мы сравниваем абсолютные отклонения, но дисперсия растёт линейно, а квадрат отклонения — квадратично относительно масштаба).

Более строгое сравнение можно провести, заметив, что точное значение вероятности биномиального распределения убывает очень быстро при удалении от центра. Однако даже грубая оценка по Чебышёву показывает, что вероятность получить 20 орлов из 100 (отклонение 30) многократно меньше, чем вероятность получить 2 орла из 10 (отклонение 3), учитывая масштабирование дисперсии.

Ответ: Вероятность выпадения 20 орлов при 100 бросаниях меньше вероятности выпадения 2 орлов при 10 бросаниях.

Ответ

Вероятность выпадения 20 орлов при 100 бросаниях меньше.

Задача решается через оценку вероятностей с помощью неравенства Чебышёва. Ключевой момент — правильно определить отклонение β и дисперсию D(X) для каждого случая. В первом случае отклонение 3, во втором 30. Оценки показывают резкое падение вероятности редких событий при увеличении числа испытаний.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 419 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 419?

Краткий ответ: Вероятность выпадения 20 орлов при 100 бросаниях меньше.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 39. Неравенство Чебышёва.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.