10–11 классы Неравенство Чебышёва § 39. Неравенство Чебышёва

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 420: Неравенство Чебышёва

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Мария Волкова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 419 421 →

Условие

Случайная величина X принимает значения 2, 4, 6, 8 с равными вероятностями. Оцените сверху вероятность событий

а) A={X≥1}

б) B={X≥5}

в) C={X≥10}. Укажите, какие оценки не имеют ценности.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для применения неравенства Чебышёва (в форме Маркова для неотрицательных величин) нам необходимо найти математическое ожидание случайной величины X. Поскольку все значения равновероятны, вычислим его как среднее арифметическое.

Шаг 1. Вычисление математического ожидания

Случайная величина X принимает значения 2,4,6,8 с вероятностями P(X=x_i)=1/4 для каждого i.

M(X)=2·1/4+4·1/4+6·1/4+8·1/4=2+4+6+8/4=20/4=5

Таким образом, M(X)=5.

Шаг 2. Оценка вероятности события а) A={X≥1}

Используем неравенство Маркова: для неотрицательной случайной величины X и любого a>0 выполняется P(X≥a)≤M(X)/a.

Здесь a=1. Подставим найденное значение M(X):

P(A)=P(X≥1)≤5/1=5

Получили оценку P(A)≤5. Однако вероятность любого события не может превышать 1. Данная оценка тривиальна и не имеет ценности , так как она слабее общего ограничения P(A)≤1.

Шаг 3. Оценка вероятности события б) B={X≥5}

Здесь a=5. Применим неравенство Маркова:

P(B)=P(X≥5)≤5/5=1

Получили оценку P(B)≤1. Это также является общим ограничением для любой вероятности. Хотя формально это верное утверждение, оно не имеет ценности в контексте оценки сверху, так как не дает никакой дополнительной информации о реальной вероятности события (которая, к слову, равна 0,5, но мы этого пока не учитываем).

Шаг 4. Оценка вероятности события в) C={X≥10}

Здесь a=10. Применим неравенство Маркова:

P(C)=P(X≥10)≤5/10=0,5

Получили оценку P(C)≤0,5. Эта оценка имеет ценность , так как она строже общего ограничения P(C)≤1. Она утверждает, что вероятность того, что X превысит 10, не более чем 50%.

Выводы по пунктам

а) P(A)≤5. Оценка не имеет ценности.
б) P(B)≤1. Оценка не имеет ценности.
в) P(C)≤0,5. Оценка имеет ценность.

Ответ

а) P(A)≤5; оценка не имеет ценности.

б) P(B)≤1; оценка не имеет ценности.

в) P(C)≤0,5; оценка имеет ценность.

Задача решается через неравенство Маркова (частный случай неравенства Чебышёва для неотрицательных величин). Ключ учебника содержит опечатку или неточность в формулировке 'ценности': обычно оценкой без ценности называют ту, которая больше 1 или равна 1 (тривиальная). В данном случае оценка для а) равна 5 (больше 1), для б) равна 1 (тривиальная верхняя граница вероятности). Только оценка для в) (0,5) дает полезную информацию, отличную от аксиоматики вероятностей.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 420 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 420?

Краткий ответ: а) P(A) 5; оценка не имеет ценности. б) P(B) 1; оценка не имеет ценности. в) P(C) 0,5; оценка имеет ценность.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 39. Неравенство Чебышёва.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.