ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 421: Неравенство Чебышёва
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Юлия Громова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Постройте нижнюю оценку вероятности события X<a для неотрицательной случайной величины X с математическим ожиданием EX, используя неравенство Маркова.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся неравенством Маркова. Это неравенство связывает математическое ожидание неотрицательной случайной величины с вероятностью того, что она превысит определённое положительное число.
Шаг 1. Формулировка неравенства Маркова
Пусть X — неотрицательная случайная величина, а a>0. Согласно неравенству Маркова, вероятность того, что X примет значение не меньше a, ограничена сверху отношением математического ожидания к этому числу:
P(X≥a)≤EX/aШаг 2. Переход к противоположному событию
Нам нужно оценить вероятность события X<a. Заметим, что событие {X<a} является противоположным (дополняющим) к событию {X≥a}. Для любого события A сумма вероятностей самого события и его дополнения равна единице: P(A)+P(A)=1.
Следовательно, мы можем выразить искомую вероятность через вероятность противоположного события:
P(X<a)=1-P(X≥a)Шаг 3. Построение нижней оценки
Из шага 1 мы знаем, что P(X≥a) не превышает EX/a. Чтобы получить нижнюю границу для P(X<a), нам нужно вычесть из единицы максимально возможное значение P(X≥a).
Так как P(X≥a)≤EX/a, то при вычитании этого выражения из 1 знак неравенства меняется на противоположный:
1-P(X≥a)≥1-EX/aПодставляя слева P(X<a), получаем итоговую оценку:
P(X<a)≥1-EX/aПроверка логики
Если математическое ожидание EX очень мало по сравнению с a, то дробь EX/a близка к нулю, и оценка стремится к 1. Это логично: если среднее значение мало, то вероятность того, что величина будет меньше большого числа a, должна быть высокой. Если же EX велико, оценка снижается, что также соответствует интуиции.
P(X<a)≥1-EX/a
Задача требует вывода оценки вероятности через неравенство Маркова. Ключевой момент — использование свойства противоположных событий (P(Ac)=1-P(A)) и аккуратная работа со знаком неравенства при переходе от верхней оценки для P(X≥a) к нижней оценке для P(X<a).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 421 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 421?
Краткий ответ: P(X < a) 1 - EXa.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 39. Неравенство Чебышёва.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.