ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 417
Тема: Дисперсия и стандартное отклонение биномиального и геометрического
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Надежда Фомина, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Маша собирает коллекцию из 6 котят в шоколадных яйцах (равномерное распределение). Пусть X — число яиц, которые придётся купить для полной коллекции. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение X.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Задача относится к классической задаче о коллекционере (Coupon Collector's Problem). Нам нужно собрать n=6 различных котят. Пусть Xi — количество яиц, купленных на этапе сбора i-го нового котёнка (после того как уже собрано i-1 уникальных). Тогда общее число яиц X=X1+X2+…+X6.
Шаг 1. Определение вероятностей успеха для каждого этапа
На каждом этапе i вероятность купить нового (ещё не имеющегося) котёнка равна:
pi=n-(i-1)/n=7-i/6Случайная величина Xi имеет геометрическое распределение с параметром pi. Для геометрического распределения математическое ожидание и дисперсия числа испытаний до первого успеха равны:
E[Xi]=1/pi, D[Xi]=1-pi/p2iШаг 2. Вычисление математического ожидания E[X]
По линейности математического ожидания:
E[X]=∑6i=1E[Xi]=∑6i=11/pi=∑6i=16/7-iРаспишем слагаемые:
- i=1: 6/6=1
- i=2: 6/5=1,2
- i=3: 6/4=1,5
- i=4: 6/3=2
- i=5: 6/2=3
- i=6: 6/1=6
Суммируем:
E[X]=1+1,2+1,5+2+3+6=14,7Шаг 3. Вычисление дисперсии D[X]
Так как этапы независимы, дисперсия суммы равна сумме дисперсий:
D[X]=∑6i=1D[Xi]=∑6i=11-pi/p2iЗаметим, что 1-pi/p2i=1/p2i-1/pi. Используем значения 1/pi из предыдущего шага (qi=1/pi):
| Этап i | pi | qi=1/pi | q2i | D[Xi]=q2i-qi |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1/6 | 6 | 36 | 30 |
| 2 | 5/6 | 1,2 | 1,44 | 0,24 |
| 3 | 4/6 | 1,5 | 2,25 | 0,75 |
| 4 | 3/6 | 2 | 4 | 2 |
| 5 | 2/6 | 3 | 9 | 6 |
| 6 | 1/6 | 1 | 1 | 0 |
Суммируем дисперсии:
D[X]=30+0,24+0,75+2+6+0=38,99Шаг 4. Вычисление стандартного отклонения σX
Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
σX=D[X]=38,99Вычислим значение:
38,99≈6,24419...Округляем до трёх знаков после запятой, как в ключевом ответе:
σX≈6,244EX=14,7; sqrt(DX) ≈ 6,244
Задача решается через разложение на независимые геометрические случайные величины. Математическое ожидание находится суммированием обратных вероятностей появления нового элемента коллекции. Дисперсия находится суммированием выражений (1-p)/p^2 для каждого этапа. Итоговые значения совпадают с ключом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 417 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 417?
Краткий ответ: EX = 14,7; sqrt(DX) ≈ 6,244.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 38. Дисперсия и стандартное отклонение биномиального и геометрического распределений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.