ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 424: Неравенство Чебышёва
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Юлия Громова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Случайная величина X имеет математическое ожидание m и стандартное отклонение s. Оцените вероятность событий
а) |X-m|≥s
б) m-2s<X<m+2s.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задач на оценку вероятностей отклонений случайной величины от её математического ожидания воспользуемся неравенством Чебышёва. Это неравенство связывает вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего среднего значения m более чем на ε, с дисперсией этой величины.
Формулировка неравенства Чебышёва: для любого ε>0 P(|X-m|≥qslantε)≤slantD(X)/ε2 где D(X) — дисперсия случайной величины X. По условию задачи стандартное отклонение равно s, следовательно, дисперсия D(X)=s2. Также полезно помнить о дополнительном событии: если событие A имеет вероятность P(A), то вероятность противоположного события A равна 1-P(A). В задачах типа «оцените вероятность попадания в интервал» часто удобнее сначала оценить вероятность выхода за пределы этого интервала (используя прямое неравенство), а затем найти искомую вероятность через дополнение.
Шаг 1. Решение пункта а)
Требуется оценить вероятность события |X-m|≥qslants. Здесь порог отклонения ε равен стандартному отклонению s, то есть ε=s. Подставим эти значения в формулу неравенства Чебышёва:
P(|X-m|≥qslants)≤slants2/s2Вычислим правую часть:
s2/s2=1Следовательно, вероятность того, что случайная величина отклонится от математического ожидания не менее чем на одно стандартное отклонение, не превышает единицы:
P(|X-m|≥qslants)≤slant1Ответ к пункту а): Не более 1.
Шаг 2. Решение пункта б)
Требуется оценить вероятность события m-2s<X<m+2s. Это неравенство можно переписать в виде модуля: |X-m|<2s Неравенство Чебышёва даёт верхнюю границу для вероятности выхода за пределы интервала, то есть для события |X-m|≥qslant2s. Обозначим искомое событие как B, а его дополнение (выход за границы) как B. Тогда P(B)=1-P(B). Оценим P(B)=P(|X-m|≥qslant2s). В данном случае порог отклонения ε=2s. Применяем неравенство Чебышёва:
P(|X-m|≥qslant2s)≤slants2/(2s)2Раскроем скобки в знаменателе:
s2/4s2=1/4=0,25Таким образом, вероятность того, что X выйдет за пределы интервала (m-2s;m+2s), не превосходит 0,25. Теперь найдём нижнюю границу для вероятности попадания внутрь интервала:
P(m-2s<X<m+2s)=1-P(|X-m|≥qslant2s)≥slant1-0,25=0,75Итак, вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал двойного стандартного отклонения, составляет не менее 0,75.
Ответ к пункту б): Не менее 0,75.
а) Не более 1
б) Не менее 0,75
Задача решается прямым применением неравенства Чебышёва. Для пункта а) подставляется epsilon=s, результат тривиален (<=1). Для пункта б) используется переход к дополнению: сначала оценивается вероятность выхода за пределы 2s (<= 1/4), затем вычитается из 1.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 424 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 424?
Краткий ответ: а) Не более 1 б) Не менее 0,75.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 39. Неравенство Чебышёва.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.