10–11 классы Неравенство Чебышёва § 39. Неравенство Чебышёва

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 426: Неравенство Чебышёва

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Артём Савельев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 425 427 →

Условие

Игральный кубик бросают дважды. Вычислите точную вероятность того, что сумма очков отклонится от среднего не менее чем на два стандартных отклонения. Затем оцените её с помощью неравенства Чебышёва.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи нам необходимо сначала определить математическое ожидание и дисперсию суммы очков при двух бросках игрального кубика. Затем мы вычислим точную вероятность события «отклонение от среднего не менее чем на два стандартных отклонения» и сравним её с оценкой по неравенству Чебышёва.

Шаг 1. Математическое ожидание и дисперсия одного броска

Пусть X₁ — результат первого броска, а X₂ — результат второго броска. Для одного честного кубика возможные значения: 1,2,3,4,5,6, каждое с вероятностью 1/6.

Математическое ожидание одного броска:

E(X_i)=1+2+3+4+5+6/6=21/6=3,5

Дисперсия одного броска вычисляется как D(X_i)=E(X2i)-(E(X_i))². Сначала найдем средний квадрат очков:

E(X2i)=1²+2²+3²+4²+5²+6²/6=1+4+9+16+25+36/6=91/6

Тогда дисперсия:

D(X_i)=91/6-(3,5)²=91/6-49/4=182-147/12=35/12

Шаг 2. Характеристики суммы двух бросков

Обозначим сумму очков за два броска как S=X₁+X₂. Так как броски независимы, математическое ожидание суммы равно сумме ожиданий, а дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

Математическое ожидание суммы:

E(S)=E(X₁)+E(X₂)=3,5+3,5=7

Дисперсия суммы:

D(S)=D(X₁)+D(X₂)=35/12+35/12=70/12=35/6

Стандартное отклонение суммы (σ_S):

σ_S=D(S)=35/6

Шаг 3. Формулировка условия отклонения

Нас интересует вероятность того, что сумма S отклонится от своего среднего E(S)=7 не менее чем на два стандартных отклонения. То есть нас интересует событие:

|S-7|≥2σ_S

Подставим значение σ_S=35/6:

2σ_S=235/6=4·35/6=140/6=70/3≈23,33≈4,83

Таким образом, условие |S-7|≥4,83 означает, что расстояние от 7 до суммы S должно быть больше или равно примерно 4,83.

Поскольку S принимает целые значения от 2 до 12, давайте определим, какие значения S удовлетворяют этому условию.

Если S>7, то S-7≥4,83⇒S≥11,83. Целые значения: S=12.
Если S<7, то 7-S≥4,83⇒S≤2,17. Целые значения: S=2.

Итак, точная вероятность нужна для событий S=2 или S=12.

Шаг 4. Вычисление точной вероятности

Всего исходов при двух бросках кубика: 6×6=36.

Найдем количество благоприятных исходов:

Сумма S=2: единственный вариант (1;1). Количество исходов: 1.
Сумма S=12: единственный вариант (6;6). Количество исходов: 1.

Всего благоприятных исходов: 1+1=2.

Точная вероятность:

P(|S-7|≥2σ_S)=2/36=1/18

Шаг 5. Оценка по неравенству Чебышёва

Неравенство Чебышёва гласит, что для любой случайной величины X с конечным математическим ожиданием a и дисперсией D и любого ε>0 выполняется:

P(|X-a|≥ε)≤D/ε²

В нашей задаче X=S, a=7, D=35/6. В качестве ε берем 2σ_S.

Заметим, что ε²=(2σ_S)²=4σ2S=4D.

Подставим это в правую часть неравенства:

P(|S-7|≥2σ_S)≤D/4D=1/4

Таким образом, оценка сверху по неравенству Чебышёва равна 1/4.

Ответ

Точная вероятность равна 1/18, оценка по неравенству Чебышёва: не более 1/4.

Ответ

Точная вероятность: 1/18.

Оценка по неравенству Чебышёва: не более 1/4.

Решение разбито на логические шаги: расчет характеристик одной переменной, переход к сумме, анализ условия отклонения через стандартные отклонения, подсчет точной вероятности путем перебора целых сумм и применение формулы Чебышёва. Важно отметить, что так как сумма дискретна, условие 'не менее чем на 2 сигмы' сводится к конкретным крайним значениям (2 и 12).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 426 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 426?

Краткий ответ: Точная вероятность: 118. Оценка по неравенству Чебышёва: не более 14.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 39. Неравенство Чебышёва.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.