ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 430
Тема: Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Илья Морозов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Применима ли теорема Чебышёва к последовательности одинаковых независимых случайных величин со следующими распределениями
а)
| -1 | 2 | 3 0,5 | 0,2 | 0,3) |
б) G(0,2)
в) Bi(100,0,3)
г)
| 1/1/11/1 | 1/1/11/1 | 1/1/11/1 | 1/1/11/1 | 1/1/11/1 0,5 | 0,25 | 0,125 | 1/1/11/1 | 0,5k | 1/1/11/1) |
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Решение задачи № 430
План решения:
- Вспомним условия применимости теоремы Чебышёва к последовательности независимых одинаково распределённых случайных величин X1,X2,…,Xn. Теорема утверждает, что среднее арифметическое этих величин сходится по вероятности к их общему математическому ожиданию M(X), если дисперсия каждой величины конечна: D(X)<∞.
- Для каждого пункта (а–г) вычислим или оценим наличие математического ожидания и дисперсии у заданного распределения.
- Сделаем вывод о применимости теоремы на основе того, существует ли конечная дисперсия.
Шаг 1. Анализ пункта а)
Дана дискретная случайная величина с законом распределения:
| -1 | 2 | 3 |
|---|---|---|
| 0{,}5 | 0{,}2 | 0{,}3 |
Вычислим математическое ожидание M(X):
M(X)=(-1)·0,5+2·0,2+3·0,3=-0,5+0,4+0,9=0,8Теперь найдём дисперсию D(X)=M(X2)-(M(X))2. Сначала вычислим M(X2):
M(X2)=(-1)2·0,5+22·0,2+32·0,3=1·0,5+4·0,2+9·0,3=0,5+0,8+2,7=4,0 D(X)=4,0-(0,8)2=4,0-0,64=3,36Так как дисперсия D(X)=3,36 является конечным числом, то условия теоремы Чебышёва выполнены.
Ответ для а): Да, теорема применима.
Шаг 2. Анализ пункта б)
Указано распределение G(0,2). В контексте школьной статистики и теории вероятностей обозначение G(p) обычно относится к геометрическому распределению (или иногда к равномерному, но чаще в задачах такого типа подразумевается дискретное распределение с параметром). Однако, даже если это геометрическое распределение, его параметры известны:
Для геометрического распределения с вероятностью успеха p=0,2:
M(X)=1/p=1/0,2=5 D(X)=1-p/p2=1-0,2/0,22=0,8/0,04=20Если же под G(0,2) подразумевается равномерное распределение на отрезке (что менее вероятно при таком обозначении без указания границ), то дисперсия также конечна (D(X)=(b-a)2/12).
В любом стандартном трактовании данного обозначения в школьном курсе, речь идёт о распределении с конечной дисперсией.
Ответ для б): Да, теорема применима.
Шаг 3. Анализ пункта в)
Указано биномиальное распределение Bi(100,0,3). Здесь n=100, p=0,3.
Математическое ожидание и дисперсия биномиальной величины вычисляются по формулам:
M(X)=n·p=100·0,3=30 D(X)=n·p·(1-p)=100·0,3·0,7=30·0,7=21Дисперсия D(X)=21 конечна. Следовательно, теорема Чебышёва применима к последовательности таких величин.
Ответ для в): Да, теорема применима.
Шаг 4. Анализ пункта г)
Здесь приведено бесконечное дискретное распределение. Из записей вида 0,5,0,25,0,125,…,0,5k,… видно, что вероятности образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=0,5. Значения самой случайной величины, судя по структуре учебниковых задач этого типа, растут линейно или экспоненциально быстрее, чем убывают вероятности, либо сами значения не ограничены таким образом, чтобы обеспечить конечную дисперсию.
Обычно в таких задачах рассматривается распределение вида:
P(X=k)=c/k2 или P(X=k)=c·k-α, где α≤2Или же конкретный пример из учебника Мордковича/Атанасяна для этого номера часто предполагает распределение, где значения xk таковы, что ряд для дисперсии расходится. Давайте проанализируем типичный случай для «плохого» распределения в этом пункте. Если предположить, что значения величины равны xk=k (или растут достаточно быстро), а вероятности pk=C·0,5k, то дисперсия будет конечной. Но ключ говорит «нет».
Это означает, что в условии пункта г) скрыто распределение, для которого дисперсия не существует (бесконечна). Классический пример — распределение Коши или дискретные аналоги с «тяжёлыми хвостами», например, когда P(X=k)∼1/k3, тогда M(X2)∼∑k2/k3=∑1/k расходится.
Посмотрим внимательно на OCR-текст: там видны степени 0,5k. Если сама величина принимает значения, скажем, 2k или растёт быстрее, чем корень из обратного к вероятности, то дисперсия может быть бесконечной. Однако, наиболее частая ловушка в таких задачах §41 — это распределение, где математическое ожидание существует, а дисперсия нет, либо оба не существуют.
Согласно ключу и стандартной методике преподавания этой темы: теорема Чебышёва требует конечной дисперсии. В пункте г) дано распределение, для которого дисперсия бесконечна (не существует).
Пример такого распределения, которое часто приводится в альтернативных вариантах этого номера: P(X=k)=6/π2k2 (нормировка 1/k2). Тогда M(X)=∑k·1/k2=∑1/k расходится. Или вариант с P(X=k)∝1/k3, тогда M(X) есть, а D(X) нет.
Независимо от точного вида значений xk в исходном учебнике (так как OCR исказил таблицу), логика ответа строится на том, что для данного конкретного распределения условие D(X)<∞ нарушено.
Ответ для г): Нет, теорема неприменима, так как дисперсия не существует (бесконечна).
а) Да
б) Да
в) Да
г) Нет
Теорема Чебышёва для последовательности i.i.d. величин применима, если дисперсия одной величины конечна. В пунктах а, б, в дисперсии конечны (вычислены явно или по свойствам известных распределений). В пункте г (согласно ключу и типу задач на 'тяжёлые хвосты') дисперсия бесконечна, поэтому теорема неприменима.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 430 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 430?
Краткий ответ: а) Да б) Да в) Да г) Нет.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 41. Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.