ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 432
Тема: Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Сергей Мишин, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Математическое ожидание массы буханки хлеба равно 400 г, стандартное отклонение — 10 г. Взвесили 50 буханок. С помощью неравенства Чебышёва оцените снизу вероятность того, что среднее арифметическое их масс отклоняется от среднего не более чем на 5 г.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся неравенством Чебышёва для выборочного среднего. Нам даны параметры распределения массы одной буханки и объём выборки.
Шаг 1. Выпишем данные и определим параметры выборочного среднего
Пусть X — случайная величина, обозначающая массу одной буханки хлеба. По условию:
- Математическое ожидание: E(X)=μ=400 г;
- Стандартное отклонение: σX=10 г;
- Объём выборки: n=50;
- Граница отклонения: ε=5 г.
Нас интересует вероятность того, что среднее арифметическое масс X отклоняется от математического ожидания не более чем на 5 г. То есть нужно оценить снизу вероятность события |X-μ|<5 (или ≤5, в контексте непрерывных величин это одно и то же).
Сначала найдём характеристики распределения выборочного среднего X:
- Математическое ожидание выборочного среднего равно математическому ожиданию генеральной совокупности: E(X)=μ=400 г
- Дисперсия выборочного среднего равна дисперсии отдельной величины, делённой на объём выборки: D(X)=D(X)/n=σ2X/n Подставим числа: D(X)=102/50=100/50=2 г 2
Шаг 2. Применим неравенство Чебышёва
Неравенство Чебышёва утверждает, что для любой случайной величины Y с конечным математическим ожиданием E(Y) и дисперсией D(Y) выполняется оценка:
P(|Y-E(Y)|<ε)≥1-D(Y)/ε2 В нашем случае роль Y играет выборочное среднее X. Подставим найденные значения:- D(X)=2;
- ε=5.
Вычислим правую часть неравенства:
1-D(X)/ε2=1-2/52=1-2/25Приведём к общему знаменателю или переведём в десятичную дробь:
2/25=8/100=0,08 1-0,08=0,92Таким образом, согласно неравенству Чебышёва:
P(|X-400|<5)≥0,92Шаг 3. Формулировка ответа и проверка логики
Мы оценили вероятность снизу. Это означает, что реальная вероятность может быть выше, но гарантированно она не меньше полученного значения.
Проверка размерностей и логики:
- Дисперсия уменьшилась при увеличении объёма выборки (100→2), что верно для среднего арифметического.
- Значение вероятности лежит в диапазоне [0;1], что корректно.
- Чем больше n, тем меньше дисперсия среднего, и тем ближе оценка к 1. При n=50 и τ=5 мы получили высокую надёжность оценки.
Итак, вероятность того, что среднее арифметическое масс 50 буханок отклонится от 400 г не более чем на 5 г, составляет не менее 0,92.
Не менее 0,92
Задача требует применения неравенства Чебышёва к выборочному среднему. Ключевой момент — правильно рассчитать дисперсию выборочного среднего как D(X)/n, а не использовать стандартное отклонение одной буханки напрямую без учёта n. Ответ совпадает с ключом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 432 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 432?
Краткий ответ: Не менее 0,92.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 41. Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.