ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 435

Для решения задачи воспользуемся неравенством Бернулли (или следствием из него), которое связывает частоту события с его вероятностью при большом числе испытаний.Шаг 1. Определим параметры экспериментаБросаем игральный кубик n=100 раз. Нас интересует событие A — выпадение шестёрки.Вероятность появления шестёрки в одном броске равна:p=1/6Частота появления события A обозначается как m/n, где m — число появлений шестёрки за 100 бросков.Шаг 2. Проанализируем заданный интервал для частотыНам нужно оценить вероятность того, что частота попадёт в интервал (1/12;1/4). Запишем границы интервала через десятичные дроби или приведём к общему знаменателю с p=1/6 для наглядности.Левая граница: 1/12.Правая граница: 1/4.Заметим, что истинная вероятность p=1/6 находится внутри этого интервала, так как:1/12 Действительно,$1/12≈0,083$,$1/6≈0,167$,$1/4=0,25$.Шаг 3. Применим неравенство БернуллиНеравенство Бернулли гласит, что для любого положительного числа $ε$ выполняется оценка:P\left( \left| \frac{m}{n} - p \right| где q=1-p. В нашем случае p=1/6, q=5/6, n=100.Чтобы использовать это неравенство, нам нужно представить заданный интервал (1/12;1/4) в виде окрестности точки p: (p-ε;p+ε).Однако данный интервал не симметричен относительно p=1/6: - Расстояние до левой границы: δ₁=p-1/12=1/6-1/12=2/12-1/12=1/12. - Расстояние до правой границы: δ₂=1/4-p=1/4-1/6=3/12-2/12=1/12.

Интересно! Расстояния оказались одинаковыми. Значит, интервал действительно симметричен относительно p и имеет вид:

(1/6-1/12;1/6+1/12)

Таким образом, мы можем взять ε=1/12.

Шаг 4. Вычислим нижнюю границу вероятности

Подставим значения в формулу:

pq=1/6·5/6=5/36 nε²=100·(1/12)²=100·1/144=100/144=25/36

Теперь найдём дробь в правой части неравенства:

pq/nε²=5/36/25/36=5/36·36/25=5/25=1/5=0,2

Следовательно, вероятность попадания частоты в указанный интервал оценивается снизу как:

P≥1-0,2=0,8

Шаг 5. Проверка и вывод

Мы использовали классическое неравенство Бернулли. Полученная оценка 0,8 является нижней границей вероятности. Это означает, что реальная вероятность может быть выше, но гарантированно она не меньше 0,8.

Ответ согласуется с ключом учебника («Не менее 0,8»).