ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 431
Тема: Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Татьяна Белова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Дана бесконечная последовательность независимых случайных величин X1,X2,1/1/11/,Xn,1/1/11/ с распределением G(1/3). Пусть Yn=X1+1/1/11/+Xn/n — среднее арифметическое первых n величин. Как ведёт себя с ростом n (возрастает, убывает, постоянна) величина
а) EYn
б) DYn?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В условии задачи приведена последовательность независимых случайных величин X1,X2,…,Xn, каждая из которых имеет геометрическое распределение с параметром p=1/3. Обозначим эту величину как G(1/3). Нам нужно исследовать поведение математического ожидания и дисперсии выборочного среднего Yn при увеличении объёма выборки n.
Шаг 1. Характеристики одной величины
Для геометрического распределения G(p) (где p — вероятность успеха) формулы для математического ожидания и дисперсии известны:
E(Xi)=1/p, D(Xi)=1-p/p2Подставим значение p=1/3:
E(Xi)=1/1/3=3 D(Xi)=1-1/3/(1/3)2=2/3/1/9=2/3·9=6Таким образом, каждая отдельная величина Xi имеет среднее значение 3 и дисперсию 6.
Шаг 2. Математическое ожидание среднего арифметического (пункт а)
Рассмотрим величину Yn=X1+X2+…+Xn/n. Используя свойство линейности математического ожидания, запишем:
E(Yn)=E(1/n∑ni=1Xi)=1/n∑ni=1E(Xi)Так как все Xi одинаково распределены и E(Xi)=3, то сумма равна 3n:
E(Yn)=1/n·(3n)=3Вывод по пункту а): Величина EYn не зависит от n и остаётся постоянной (3).
Шаг 3. Дисперсия среднего арифметического (пункт б)
Теперь найдём дисперсию D(Yn). Так как величины Xi независимы, дисперсия суммы равна сумме дисперсий. Также учтём множитель 1/n, который выносится из-под знака дисперсии в квадрате:
D(Yn)=D(1/n∑ni=1Xi)=1/n2∑ni=1D(Xi)Поскольку D(Xi)=6 для всех i, сумма дисперсий равна 6n:
D(Yn)=1/n2·(6n)=6/nПроанализируем полученное выражение 6/n при росте n:
- При n=1, D(Y1)=6;
- При n=2, D(Y2)=3;
- При n→∞, D(Yn)→0.
Вывод по пункту б): Величина DYn убывает с ростом n и стремится к нулю.
а) постоянна
б) убывает
Задача проверяет знание свойств математического ожидания и дисперсии для выборочного среднего. Ключевой момент: ожидание среднего равно ожиданию одной величины (не зависит от n), а дисперсия среднего уменьшается пропорционально 1/n.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 431 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 431?
Краткий ответ: а) постоянна б) убывает.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 41. Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.