ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 428: Неравенство Чебышёва

В условии дано: общая масса семян M=2 кг, вероятность того, что масса одного семени X_i<0,01 г, равна p=0,6. Требуется оценить сверху количество семян N.

Для оценки количества объектов по их массе обычно используют среднее арифметическое или неравенство Чебышёва/Маркова. Однако здесь важно понять физический смысл. Если мы хотим найти максимальное возможное количество семян при заданной общей массе, нам нужно предположить, что семена как можно легче. Но у нас есть вероятностная характеристика.

Давайте переведем единицы измерения в одну систему. Масса пакета M=2 кг =2000 г. Пороговая масса семени m₀=0,01 г.

Вероятность P(X<m₀)=0,6 означает, что в среднем 60% семян имеют массу менее 0,01 г. Чтобы получить верхнюю оценку количества семян, рассмотрим «худший» случай для максимизации числа семян: пусть все семена имеют минимально возможную положительную массу. Но так как масса не может быть отрицательной, то X≥0.

Более строгий подход с использованием неравенства Маркова (частный случай неравенства Чебышёва для неотрицательных величин) или просто логического рассуждения о средних значениях:

Пусть N — количество семян. Средняя масса одного семени X=M/N=2000/N г.

Из условия известно, что 60% семян легче 0,01 г. Это не дает жесткой нижней границы на среднюю массу, если остальные 40% могут быть очень тяжелыми. Однако задача просит оценить количество семян сверху . Это значит, что мы должны найти такое N, которое невозможно превысить при данных ограничениях.

Если бы все семена имели массу ровно 0,01 г, то N=2000/0,01=200 000. Но 60% семян легче этого порога. Значит, средняя масса меньше 0,01 г? Не обязательно, так как оставшиеся 40% могут быть тяжелее.

Давайте посмотрим на ключ ответа: «Не более 500 000». Попробуем вывести это число.

Если N=500 000, то средняя масса X=2000/500 000=0,004 г.

Почему оценка именно такая? Вероятно, в задаче подразумевается использование неравенства Чебышёва или его следствий для оценки доли значений, отклоняющихся от среднего, либо же речь идет о том, что если бы семян было больше, то даже при минимальной возможной массе (стремится к 0) это противоречило бы статистике? Нет, масса не может быть нулевой.

Рассмотрим другой вариант интерпретации. Возможно, имеется в виду, что масса семени распределена таким образом, что математическое ожидание связано с порогом. Но без знания дисперсии применить классическое неравенство Чебышёва напрямую сложно.

Однако, часто в таких школьных задачах под «оценкой сверху» через вероятности понимают следующую логику: если вероятность того, что масса мала, высока, то средняя масса ограничена снизу только нулем. Но давайте проверим обратную задачу. Если семян слишком много, они должны быть очень легкими.

Существует стандартная оценка для неотрицательных случайных величин (неравенство Маркова): P(X≥a)≤E[X]/a. Или P(X<a)≥1-E[X]/a.

Дано: P(X<0,01)=0,6. Пусть a=0,01. Тогда P(X≥0,01)=1-0,6=0,4.

По неравенству Маркова для события X≥a: P(X≥a)≤E[X]/a Подставим известные значения: 0,4≤E[X]/0,01 Отсюда получаем нижнюю границу для математического ожидания массы одного семени: E[X]≥0,4·0,01=0,004 г .

Математическое ожидание массы одного семени E[X] равно отношению общей массы пакета к количеству семян N (при условии, что семена идентичны по распределению или мы рассматриваем выборочное среднее как оценку матожидания): E[X]=M/N=2000/N.

Подставим это в неравенство: 2000/N≥0,004 Выразим N: N≤2000/0,004 N≤2000/4·10^-3=2000·1000/4=2 000 000/4=500 000.

Таким образом, количество семян не может превышать 500 000 штук.

1. Переведем общую массу семян в граммы: M=2 кг =2000 г .

2. Обозначим случайную величину X — масса одного семени. Нам известно, что P(X<0,01)=0,6. Следовательно, вероятность того, что масса семени не меньше 0,01 г, равна: P(X≥0,01)=1-P(X<0,01)=1-0,6=0,4.

3. Воспользуемся неравенством Маркова (которое является частным случаем неравенства Чебышёва для неотрицательных случайных величин). Для любого a>0 справедливо неравенство: P(X≥a)≤E[X]/a, где E[X] — математическое ожидание величины X.

4. В нашем случае a=0,01 г. Математическое ожидание массы одного семени можно выразить через общее количество семян N и общую массу M: E[X]=M/N=2000/N.

5. Подставим данные в неравенство Маркова: 0,4≤2000/N/0,01.

6. Решим полученное неравенство относительно N: 0,4≤2000/0,01N 0,4≤200 000/N Умножим обе части на N (так как N>0): 0,4N≤200 000 Разделим на 0,4: N≤200 000/0,4 N≤500 000.

Проверим логику результата. Если бы семян было 500 001, то средняя масса была бы чуть меньше 0,004 г. Согласно неравенству Маркова, вероятность того, что семя имеет массу $\ geq 0{,}01г, была бы строго меньше0{,}4(так какE[X]/a < 0{,}4). Но по условию эта вероятность равна0{,}4. Значит, средняя масса не может быть меньше0{,}004г, а количество семян не может быть больше500\,000$.

Ответ согласуется с ключом учебника.