ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 429: Неравенство Чебышёва
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Кирилл Панов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Игральный кубик бросают 120 раз. Оцените сверху вероятность того, что единица выпадет не менее 40 раз
а) с помощью неравенства Маркова
б) с помощью неравенства Чебышёва. Какая оценка сильнее?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Решение задачи № 429
Шаг 1. Определение случайной величины и её характеристик
Пусть X — количество выпадений единицы при бросании игрального кубика 120 раз.
Так как каждый бросок независим, а вероятность выпадения единицы в одном броске равна p=1/6, то величина X имеет биномиальное распределение с параметрами n=120 и p=1/6.
Найдём математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X):
M(X)=n·p=120·1/6=20 D(X)=n·p·(1-p)=120·1/6·5/6=20·5/6=100/6=50/3≈16,67Шаг 2. Оценка вероятности с помощью неравенства Маркова (пункт а)
Неравенство Маркова для неотрицательной случайной величины X гласит: если a>0, то
P(X≥a)≤M(X)/aВ условии требуется оценить вероятность того, что единица выпадет не менее 40 раз, то есть найти верхнюю границу для P(X≥40).
Подставим значения M(X)=20 и a=40:
P(X≥40)≤20/40=0,5Ответ для пункта а): Не более 0,5.
Шаг 3. Оценка вероятности с помощью неравенства Чебышёва (пункт б)
Неравенство Чебышёва связывает вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания с её дисперсией. Для любого ε>0:
P(|X-M(X)|≥ε)≤D(X)/ε2Нам нужно оценить P(X≥40). Заметим, что событие {X≥40} является частью события {|X-20|≥20}, так как если X≥40, то отклонение от среднего 20 составляет минимум 20 (40-20=20). При этом событие {|X-20|≥20} включает также случаи, когда X≤0 (что невозможно для количества выпадений, но формально учитывается в модуле), однако для оценки сверху мы можем использовать неравенство:
P(X≥40)≤P(|X-20|≥20)Применим неравенство Чебышёва с ε=20:
P(|X-20|≥20)≤D(X)/202=50/3/400Вычислим полученную дробь:
50/3·400=50/1200=5/120=1/24Следовательно,
P(X≥40)≤1/24≈0,0417Ответ для пункта б): Не более 1/24.
Шаг 4. Сравнение оценок
Сравним полученные границы:
- По Маркову: P≤0,5
- По Чебышёву: P≤1/24≈0,042
Оценка 1/24 значительно меньше, чем 0,5. Чем меньше верхняя граница вероятности, тем точнее оценка (тем сильнее утверждение о том, что событие маловероятно).
Вывод: Вторая оценка (по неравенству Чебышёва) сильнее.
а) Не более 0,5
б) Не более 1/24. Вторая оценка сильнее.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 429 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 429?
Краткий ответ: а) Не более 0,5; б) Не более 124. Вторая оценка сильнее.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 39. Неравенство Чебышёва.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.