10–11 классы Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли § 41. Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 433

Тема: Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Кирилл Панов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 432 434 →

Условие

Чтобы определить среднее время t горения спичек «Рыбацкие», взяли 100 штук. Среднее время горения этих 100 спичек может отличаться от t. С помощью неравенства Чебышёва оцените снизу вероятность того, что это отличие не более 10 с, если стандартное отклонение времени горения одной спички 30 с.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи воспользуемся неравенством Чебышёва для выборочного среднего. Нам нужно оценить вероятность того, что отклонение выборочного среднего времени горения x от истинного математического ожидания t не превышает заданной величины.

Шаг 1. Формулировка неравенства Чебышёва для выборочного среднего

Согласно теореме о близости частоты и вероятности (или следствию из неравенства Чебышёва), для выборки объёма n из генеральной совокупности с дисперсией D(X) справедливо следующее неравенство:

P(|x-t|<β)>1-D(X)/nβ²

где:

x — выборочное среднее;
t — математическое ожидание (истинное среднее время горения);
β — допустимое отклонение;
n — объём выборки;
D(X) — дисперсия признака в генеральной совокупности.

Шаг 2. Определение параметров задачи

Из условия задачи выписываем известные данные:

Объём выборки: n=100;
Допустимое отклонение: β=10 с;
Стандартное отклонение одной спички: x=30 с.

Нам необходима дисперсия D(X). Так как стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии (x=D(X)), то:

D(X)=(x)²=30²=900 с ²

Шаг 3. Вычисление нижней границы вероятности

Подставим найденные значения в формулу неравенства Чебышёва:

P(|x-t|<10)>1-900/100dot10²

Вычислим значение дроби:

900/100dot100=900/10000=0,09

Теперь найдём вероятность:

P>1-0,09=0,91

Шаг 4. Проверка и вывод

Мы оценили снизу вероятность того, что отличие среднего времени горения выборки от истинного среднего не более 10 секунд. Полученное значение 0,91 совпадает с ориентировочным ключом. Это означает, что с вероятностью не менее 91% мы можем утверждать, что ошибка оценки среднего по 100 спичкам не превысит 10 секунд при данном разбросе.

Ответ

Не менее 0,91

Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 433 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 433?

Краткий ответ: Не менее 0,91.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 41. Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.