ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 436
Тема: Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Кирилл Панов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Для контроля качества берут 1000 случайных образцов. Достаточно ли этого объёма, чтобы вероятность отклонения частоты бракованных изделий от вероятности брака более чем на 5% была не больше 0,1?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся неравенством Чебышёва (или следствием из него для частоты), которое связывает объём выборки n, допустимое отклонение β и вероятность превышения этого отклонения θ. В данном случае мы проверяем достаточность объёма выборки n=1000.
Шаг 1. Запишем исходные данные и формулу
Из условия известно:
- Объём выборки: n=1000;
- Допустимое отклонение частоты от вероятности: β=5%=0,05;
- Требуемая верхняя граница вероятности отклонения: θ≤0,1.
Согласно теореме Бернулли (в форме неравенства Чебышёва для относительной частоты), вероятность того, что отклонение частоты m/n от вероятности события p будет больше β, не превосходит величины:
P(|m/n-p|>β)≤pq/nβ2,где q=1-p. Чтобы гарантировать выполнение условия при любом значении p, нужно рассмотреть худший случай. Произведение pq достигает максимума при p=q=0,5, тогда pq=0,5·0,5=0,25.
Шаг 2. Вычислим верхнюю границу вероятности
Подставим максимальное значение pq=0,25 и остальные данные в правую часть неравенства:
0,25/1000·(0,05)2.Вычислим знаменатель:
(0,05)2=0,0025, 1000·0,0025=2,5.Теперь найдём значение дроби:
0,25/2,5=0,1.Таким образом, верхняя оценка вероятности отклонения равна 0,1.
Шаг 3. Сравнение с условием и вывод
По условию требуется, чтобы вероятность отклонения была не больше 0,1. Мы получили, что эта вероятность ограничена сверху значением 0,1. Это означает, что фактическая вероятность действительно не превышает 0,1 (при любом p).
Следовательно, выбранного объёма выборки достаточно для выполнения поставленного требования.
Да.
Использовано неравенство Чебышёва для оценки вероятности отклонения частоты от вероятности. Учтён худший случай для произведения pq (максимум при p=0,5). Результат вычисления совпадает с граничным значением вероятности из условия.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 436 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 436?
Краткий ответ: Да.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 41. Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.