ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 438
Тема: Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Вера Лапина, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Требуется оценить долю жителей страны, обладающих признаком П (например, астигматизм, вождение автомобиля). Допустимое отклонение оценки равно 0,1, допустимая вероятность ошибки — 0,05. Сколько человек нужно опросить, используя неравенство Чебышёва?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся неравенством Чебышёва для оценки вероятности отклонения частоты события от его вероятности. Нам нужно найти минимальное количество опрашиваемых людей n, при котором вероятность того, что абсолютная разность между частотой и вероятностью превысит допустимое отклонение допустимое отклонение/2 (или просто само отклонение, в зависимости от формулировки теоремы Бернулли/Чебышёва для доли), будет не больше заданной вероятности ошибки.
Шаг 1. Формулировка неравенства
Пусть p — истинная доля жителей с признаком П, а m/n — частота появления этого признака в выборке из n человек. Согласно неравенству Чебышёва, вероятность того, что частота отклонится от вероятности более чем на допустимое отклонение/2 (в стандартных задачах на оценку доли часто используют условие |m/n-p|<допустимое отклонение/2 или просто допустимое отклонение/2 как полуширину интервала, но в школьном курсе чаще всего под «допустимым отклонением» понимают величину допустимое отклонение/2 в знаменателе или саму величину допустимое отклонение/2). Однако, давайте посмотрим на стандартную формулу для оценки доли через неравенство Чебышёва:
P(|m/n-p|<допустимое отклонение/2)≥1-1/4n·(допустимое отклонение/2)2Здесь мы хотим, чтобы вероятность ошибки была не более 0,05. То есть правая часть неравенства должна быть не меньше 1-0,05=0,95. Или, что то же самое, верхняя граница вероятности ошибки:
1/4n·(допустимое отклонение/2)2 ≤0,05В условии сказано «Допустимое отклонение оценки равно 0,1». В контексте таких задач это обычно означает, что нас интересует событие |m/n-p|<0,1. Тогда в формуле Чебышёва для дисперсии частоты D(m/n)=pq/n≤1/4n используем допустимое отклонение/2 =0,1.
Шаг 2. Подстановка данных и вычисление
Используем неравенство:
1/4n·(0,1)2≤0,05Выразим n:
4n·0,01≥1/0,05 0,04n≥20 n≥20/0,04 n≥2000/4 n≥500Шаг 3. Проверка и вывод
Если мы опросим 500 человек, то согласно неравенству Чебышёва, вероятность того, что полученная частота отличается от истинной вероятности более чем на 0,1, не превышает 0,05. Это соответствует условиям задачи.
Таким образом, минимальное количество респондентов равно 500.
Не менее 500
Задача решается применением неравенства Чебышёва к оценке вероятности отклонения частоты от вероятности. Максимальная дисперсия частоты равна 1/4n. Условие P(|m/n-p|≥ε)≤D(m/n)/ε2≤1/4nε2. Приравниваем верхнюю границу к допустимой вероятности ошибки 0,05 и допустимое отклонение/2=0,1. Получаем 1/4n·0,01≤0,05⇒n≥500.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 438 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 438?
Краткий ответ: Не менее 500.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 41. Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.