10–11 классы Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли § 41. Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 437

Тема: Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Илья Морозов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 436 438 →

Условие

Определите минимальное число бросаний кубика, необходимое для того, чтобы вероятность попадания частоты выпадения шестёрки в интервал (1/12;1/4) была не меньше 0,95, используя неравенство Чебышёва.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи воспользуемся неравенством Чебышёва для оценки вероятности отклонения частоты события от его теоретической вероятности. Нам нужно найти минимальное число испытаний n, при котором вероятность того, что частота выпадения шестёрки попадёт в заданный интервал, будет не меньше 0,95.

Шаг 1. Определение параметров события

Рассмотрим бросание игральной кости. Событие A — выпадение шестёрки.

Теоретическая вероятность события: p=1/6.
Вероятность противоположного события: q=1-p=5/6.
Частота появления события A в n испытаниях обозначается как m/n, где m — число появлений шестёрки.

Нам дан интервал для частоты: (1/12;1/4). Проверим симметричность этого интервала относительно вероятности p=1/6.

1/6-1/12=2/12-1/12=1/12 1/4-1/6=3/12-2/12=1/12Интервал симметричен относительно p, и полуширина интервала равна ε=1/12.Условие «частота попадает в интервал» эквивалентно условию отклонения частоты от вероятности по модулю меньше ε:P(|m/n-p| Шаг 2. Применение неравенства ЧебышёваСогласно неравенству Чебышёва для частоты, справедливо следующее утверждение:P\left( \left| \frac{m}{n} - p \right| По условию задачи эта вероятность должна быть не меньше 0,95. Следовательно, правая часть неравенства также должна удовлетворять этому требованию (так как если нижняя оценка больше или равна 0,95, то и сама вероятность больше или равна 0,95):1-pq/nε²≥0,95Шаг 3. Решение неравенства относительно nПреобразуем полученное неравенство:1-0,95≥pq/nε² 0,05≥pq/nε² n≥pq/0,05·ε²

Подставим известные значения p=1/6, q=5/6 и ε=1/12:

pq=1/6·5/6=5/36 ε²=(1/12)²=1/144

Теперь вычислим знаменатель правой части:

0,05·ε²=5/100·1/144=1/20·1/144=1/2880

Подставляем всё в формулу для n:

n≥5/36/1/2880=5/36·2880

Выполним сокращение:

2880/36=80 n≥5·80=400

Шаг 4. Итоговый ответ и проверка

Минимальное целое число n, удовлетворяющее неравенству, равно 400.

Проверка логики: При n=400 нижняя граница вероятности по Чебышёву равна 1-5/36/400·(1/144)=1-5/36/400/144=1-5/36·144/400=1-5·4/400=1-20/400=1-0,05=0,95. Условие выполнено.

Ответ

Не менее 400

Задача решается стандартным применением неравенства Чебышёва к частоте события. Ключевой момент — определение полуширины интервала epsilon и проверка симметричности интервала относительно вероятности p. Расчёты ведут к точному целому числу 400.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 437 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 437?

Краткий ответ: Не менее 400.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 41. Близость частоты и вероятности. Теорема Бернулли.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.