10–11 классы *. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов § 59. *. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 545

Тема: *. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Сергей Мишин, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 544 546 →

Условие

В растворе две бактерии. Каждую минуту одна из них (выбранная случайно) либо погибает, либо делится на две такие же (события равновероятны). Найти вероятность того, что через четыре минуты в растворе останется хотя бы одна бактерия.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения этой задачи удобно использовать метод состояний. Обозначим через P_n(k) вероятность того, что через n минут в растворе будет ровно k бактерий. Нам нужно найти вероятность того, что через 4 минуты останется хотя бы одна бактерия, то есть 1-P₄(0).

Шаг 1. Анализ начального условия и правил перехода

В начале (t=0) у нас есть 2 бактерии. Значит, P₀(2)=1, а все остальные вероятности равны нулю.

Каждую минуту выбирается одна случайная бактерия. Если их k, то вероятность выбрать конкретную бактерию равна 1/k. С выбранной бактерией происходит одно из двух равновероятных событий (с вероятностью 0,5 каждое):

Она погибает: количество бактерий уменьшается на 1 (k→k-1).
Она делится на две: количество бактерий увеличивается на 1 (k→k+1), так как одна превращается в две, чистый прирост +1.

Если бактерий 0, процесс останавливается (поглощающее состояние). Если бактерий 1, она либо гибнет (1→0), либо делится (1→2).

Шаг 2. Вычисление вероятностей для t=1

Изначально k=2. Выбираем одну из двух бактерий.

С вероятностью 0,5 она гибнет: остаётся 2-1=1 бактерия.
С вероятностью 0,5 она делится: становится 2+1=3 бактерии.

Таким образом: P₁(1)=0,5 P₁(3)=0,5 P₁(0)=0,P₁(2)=0,…

Шаг 3. Вычисление вероятностей для t=2

Рассмотрим переходы из состояний k=1 и k=3.

Из состояния k=1 (вероятность 0,5):

Бактерия гибнет (1→0) с вер. 0,5. Вклад в P₂(0): 0,5·0,5=0,25.
Бактерия делится (1→2) с вер. 0,5. Вклад в P₂(2): 0,5·0,5=0,25.

Из состояния k=3 (вероятность 0,5): Выбираем одну из трёх бактерий.

Гибнет (3→2) с вер. 0,5. Вклад в P₂(2): 0,5·0,5=0,25.
Делится (3→4) с вер. 0,5. Вклад в P₂(4): 0,5·0,5=0,25.

Суммируем вклады: P₂(0)=0,25 P₂(2)=0,25+0,25=0,5 P₂(4)=0,25 Проверка суммы: 0,25+0,5+0,25=1. Верно.

Шаг 4. Вычисление вероятностей для t=3

Переходы из состояний k=0,2,4.

Из k=0 (вер. 0,25): Процесс остановлен. Остаёмся в k=0. Вклад в P₃(0): 0,25·1=0,25.

Из k=2 (вер. 0,5): Как в шаге 2, но умножаем на текущую вероятность 0,5.

2→1: вклад 0,5·0,5=0,25 в P₃(1).
2→3: вклад 0,5·0,5=0,25 в P₃(3).

Из k=4 (вер. 0,25): Выбираем одну из четырёх.

Гибнет (4→3) с вер. 0,5. Вклад в P₃(3): 0,25·0,5=0,125.
Делится (4→5) с вер. 0,5. Вклад в P₃(5): 0,25·0,5=0,125.

Итоговые вероятности для t=3: P₃(0)=0,25 P₃(1)=0,25 P₃(3)=0,25+0,125=0,375 P₃(5)=0,125 Проверка суммы: 0,25+0,25+0,375+0,125=1. Верно.

Шаг 5. Вычисление вероятностей для t=4 и ответ

Нам нужна вероятность того, что бактерий ≥1, то есть 1-P₄(0). Поэтому достаточно вычислить только P₄(0).

Вероятность оказаться в состоянии 0 на шаге 4 складывается из: 1. Перехода из уже существующего нуля (k=0→0). 2. Гибели единственной бактерии из состояния k=1 (1→0). Из состояний k≥2 нельзя перейти в 0 за один шаг (минус 1 или плюс 1).

Вклад от k=0: P₃(0)·1=0,25·1=0,25

Вклад от k=1: Из k=1 бактерия гибнет с вероятностью 0,5. P₃(1)·0,5=0,25·0,5=0,125

Вклад от k=3 и k=5: Ноль, так как из них нельзя попасть в ноль за один шаг.

Итого: P₄(0)=0,25+0,125=0,375

Вероятность того, что останется хотя бы одна бактерия: P(хотя бы 1)=1-P₄(0)=1-0,375=0,625

Ответ

0,625

Задача решается методом динамического программирования (цепь Маркова). Ключевой момент — корректный учёт вероятностей перехода при разных количествах бактерий. Из состояния 1 можно уйти в 0 или 2. Из состояния k>1 можно уйти в k-1 или k+1. Состояние 0 поглощающее. Расчёт ведётся последовательно по минутам до t=4.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 545 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 545?

Краткий ответ: 0,625.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 59. *. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.