ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 548
Тема: *. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Мария Волкова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Через 5 минут бактерия делится на две с вероятностью 0.7 или погибает с вероятностью 0.3. Изначально была одна бактерия. Найти вероятность того, что через некоторое время не останется ни одной живой бактерии.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче речь идёт о ветвящемся процессе (процессе Гальтона–Ватсона). Нам нужно найти вероятность того, что популяция бактерий полностью вымрет. Обозначим эту искомую вероятность через q.
Шаг 1. Составление уравнения для вероятности вымирания
Рассмотрим первый шаг развития процесса. Изначально есть одна бактерия. Через 5 минут с ней может произойти одно из двух событий:
- Бактерия погибает с вероятностью 0.3. В этом случае популяция сразу становится равной нулю, то есть событие «вымирание» наступает немедленно.
- Бактерия делится на две новые бактерии с вероятностью 0.7. Теперь у нас есть две независимые бактерии. Чтобы вся популяция в итоге вымерла, каждая из этих двух дочерних линий должна вымереть самостоятельно.
Так как линии развиваются независимо, вероятность того, что обе линии вымрут, равна произведению вероятностей вымирания каждой отдельной линии. Если вероятность вымирания одной начальной бактерии равна q, то вероятность вымирания двух таких бактерий равна q·q=q2.
Следовательно, полная вероятность вымирания q складывается из двух несовместных случаев первого шага:
q=0.3+0.7·q2Шаг 2. Решение квадратного уравнения
Перепишем полученное уравнение в стандартном виде:
0.7q2-q+0.3=0Умножим всё уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
7q2-10q+3=0Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:
D=(-10)2-4·7·3=100-84=16Корни уравнения:
q1,2=10±16/2·7=10±4/14Вычислим два значения:
q1=10-4/14=6/14=3/7 q2=10+4/14=14/14=1Шаг 3. Выбор правильного корня и проверка
Мы получили два возможных решения: q=1 и q=3/7. Оба значения лежат в диапазоне [0;1], поэтому математически они допустимы как вероятности. Однако нам нужно выбрать тот корень, который соответствует реальной ситуации.
Вероятность q=1 означает, что популяция вымирает со стопроцентной гарантией. Это происходит только в том случае, если среднее число потомков одной бактерии меньше или равно единице. Давайте проверим среднее число потомков (m):
m=0·0.3+2·0.7=1.4Так как m=1.4>1, процесс является суперкритическим. Это значит, что существует положительная вероятность того, что популяция будет расти бесконечно долго и никогда не вымрет. Следовательно, вероятность полного вымирания должна быть строго меньше 1.
Поэтому мы отбрасываем корень q=1 и оставляем меньший корень:
q=3/7Проверка подстановкой в исходное уравнение q=0.3+0.7q2:
Левая часть: 3/7≈0.4286 Правая часть: 0.3+0.7·(3/7)2=0.3+0.7·9/49=0.3+6.3/49=0.3+63/490=0.3+9/70=21/70+9/70=30/70=3/7Левая часть равна правой части, решение верно.
3/7
Задача относится к теории ветвящихся процессов. Ключевой момент — понимание того, что при делении бактерии на две, вероятность вымирания всей колонии становится квадратом вероятности вымирания одной линии (q2), так как события независимы. Также важно обосновать выбор меньшего корня уравнения через анализ среднего числа потомков.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 548 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 548?
Краткий ответ: 37.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 59. *. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.