ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 547

Нам нужно найти среднее число дней до того, как стоимость впервые опустится на 10 единиц ниже начальной. Обозначим начальную стоимость за 0. Тогда мы ищем математическое ожидание времени достижения уровня -10.

В задаче о разорении игрока или достижении границы для смещённого случайного блуждания (p≠q), если есть положительный дрейф вниз (так как q>p, то есть вероятность падения больше, чем роста), то время достижения любой нижней границы конечно.

Для простого случайного блуждания со смещением ν=E[X_i]=p1/1+q-1/1=p-q. Здесь ν=0,48-0,52=-0,04.

Среднее время достижения уровня a (где a<0) при отрицательном среднем шаге приближенно равно модулю расстояния, делённому на модуль среднего шага. Более строго, для достижения уровня -N среднее время T_N связано с параметрами блуждания. Однако в школьном курсе статистики часто используется упрощённая логика: если каждый день в среднем цена падает на |p-q| единиц, то чтобы упасть на N единиц, нужно N/|p-q| дней.

Проверим это предположение. Средний шаг вниз составляет 0,04 единицы стоимости. Чтобы суммарное изменение составило -10 единиц, необходимо пройти путь, который в среднем покрывается за:

Вычислим значение:

Примечание: Ключ указывает ответ 130. Давайте пересмотрим формулу. Возможно, речь идёт не о грубом приближении через средний шаг, а о точном решении уравнения для математического ожидания времени достижения границы E[T].

Пусть E_k — среднее число шагов для достижения уровня -10, начиная с уровня k. Нам нужно E₀. Уравнение Колмогорова для внутреннего состояния i: E_i=1+pE_i+1+qE_i-1, с граничными условиями E_-10=0 и условием ограниченности при i→const? Нет, здесь граница одна снизу, сверху нет ограничения, но так как q>p, процесс «уходит» вниз гарантированно.

Решение этого линейного рекуррентного уравнения имеет вид E_i=A+B(p/q)ⁱ-i/q-p. Так как при i→большое положительно время не должно расти экспоненциально (процесс тянет вниз), коэффициент B должен быть равен 0? Нет, (p/q)<1, поэтому (p/q)ⁱ стремится к 0 при i→большое положительно. Но нам нужно поведение при i=0. Граничное условие E_-10=0. Также нужно второе условие. Обычно для односторонней границы используют тот факт, что E_i конечно только если q>p. Формула для среднего времени достижения уровня -N из нуля при q>p: E[T]=N/q-p Это дает 250. Почему ключ 130? Может быть, ошибка в интерпретации "опустится на 10 единиц"? Или ключ неверен/для другой задачи? Давайте проверим пункт б).

Нужно найти среднее число торговых дней до того, как стоимость впервые вернётся к первоначальной. То есть, начиная с 0, найти среднее время первого возвращения в 0.

Для симметричного случайного блуждания (p=q=0,5) вероятность возврата равна 1, но среднее время возврата бесконечно.

Для несимметричного блуждания (p≠q):

• Если p>q (дрейф вверх), то вероятность когда-либо вернуться в ноль меньше 1. Если возврат не происходит, время бесконечно. Следовательно, математическое ожидание времени возврата не существует (равно бесконечности).
• Если q>p (дрейф вниз, наш случай 0,52>0,48), то процесс уходит в минус бесконечность. Вероятность вернуться в ноль из точки 0 после первого шага? Первый шаг будет либо +1, либо -1. * Если первый шаг -1 (с вероятностью q), то мы находимся в -1. Чтобы вернуться в 0, нужно подняться на +1. Для блуждания с q>p вероятность когда-либо подняться на +1 из текущей позиции равна p/q<1. Значит, есть ненулевая вероятность никогда не вернуться. * Если первый шаг +1 (с вероятностью p), то мы в +1. Нужно спуститься на -1. При q>p вероятность спуска на любую высоту равна 1. Но само время может быть большим.

Строгое определение: Среднее время первого возвращения E[τ+0]. Для любого случайного блуждания с p≠q стационарное распределение отсутствует, и блуждание является транзитивным (transient). Это означает, что оно посещает каждую точку конечное число раз. Следовательно, вероятность бесконечного отсутствия возврата положительна. Поэтому математическое ожидание времени возврата равно бесконечности, то есть не существует .

Ответ для б) совпадает с ключом: не существует.

Вернёмся к пункту а). Ключ говорит 130. Моя формула дала 250. Разница велика. Посмотрим на другие варианты интерпретации. Может быть, "среднее число дней" считается иначе? Или, возможно, в условии опечатка и вероятности другие? Например, если бы p=0.6,q=0.4, то N/(p-q)... нет. Попробуем вывести точную формулу для E[T_-N]. Пусть x_i — среднее время достижения -N из i. x_i=1+px_i+1+qx_i-1. Общее решение: x_i=C₁+C₂(p/q)ⁱ-i/q-p. Граничные условия: 1) x_-N=0. 2) Так как q>p, то p/q<1. При i→большое положительно, член (p/q)ⁱ→0. Член -i/q-p стремится к -бесконечности, что невозможно для времени. Значит, эта форма решения применима только если мы ограничены сверху? Нет, здесь нет верхней границы. Но физически время не может быть отрицательным. Подождите, стандартная задача о разорении обычно предполагает две границы. Здесь одна граница -N и начало 0. Процесс может уйти в +бесконечность? Нет, так как q>p, он гарантированно достигнет -N. Время конечно. Однако, если процесс может уйти далеко в плюс, прежде чем упасть вниз, среднее время может быть очень большим. Формула N/(q-p) является результатом Вальда для суммы независимых одинаково распределённых величин, где остановка определяется первым моментом прохождения порога. Для непрерывного времени или диффузии это верно. Для дискретного случая с p≠q формула также работает: E[T]=N/q-p. 10/0.04=250. Почему 130? 130×0.04=5.2. Не 10. 10/130≠0.04. Может быть, вопрос про "опустится на 10 единиц" подразумевает не абсолютное значение, а что-то другое? Или, возможно, ключ от задачи, где p=0.5? Нет, тогда бесконечность. Что если p=0.48,q=0.52 — это данные, а ответ 130 получен по какой-то эмпирической или иной формуле? Проверим вариант: E[T]=N/q-p×корректировка? Нет, теория вероятностей даёт именно 250. Есть ли другая трактовка? "Среднее число торговых дней до того, как стоимость впервые опустится на 10 единиц". Может быть, имеется в виду медиана? Или мода? Нет, "среднее" — это мат. ожидание. Давайте посмотрим на похожие задачи в решебниках Мордковича или других авторов. Часто бывает, что в таких задачах подразумевается использование нормального приближения или других методов, но для точного ответа нужна формула. А что, если в условии ошибка и надо было найти время до возврата в а)? Нет, там написано "опустится". Попробуем вычислить для другого набора параметров, дающего 130. 10/X=130→X=10/130≠0.04. Y/0.04=130→Y=5.2. Если бы порог был 5.2 единицы, ответ был бы 130. Но порог 10. Возможно, ключ 130 относится к задаче, где p=0.51,q=0.49? Тогда 10/0.02=500. Нет. p=0.55,q=0.45? 10/0.1=100. Близко. Учитывая, что я обязан следовать условию и математической строгости, а ключ является лишь ориентиром, я представлю корректное решение по формулам теории вероятностей. Ответ 250 является математически обоснованным для заданных параметров. Однако, если это специфическая задача из конкретного учебника, где используется упрощенная модель или табличные значения, которые могут отличаться, стоит отметить расхождение. Но! Есть нюанс. Для дискретного случайного блуждания формула E[T]=N/(q-p) верна, если мы считаем шаги целыми. Да, они целые. Давайте ещё раз проверим источник ошибки в ключе. Может быть, p=0.48 и q=0.52 даны для чего-то другого? Нет. Может быть, спрашивается среднее число дней, пока разница между макс и мин станет 10? Нет, "опустится на 10". Я напишу решение с получением 250, так как это единственный корректный вывод из данных чисел. Если ключ требует 130, возможно, в оригинальной задаче были другие числа (например, порог 5.2 или вероятности другие), либо ключ содержит ошибку. В рамках инструкции "ключ — ориентир, а не приказ", я приведу правильный расчет. Обновление: Иногда в школьных задачах под "средним числом" могут понимать оценку через дисперсию или другие моменты, но для времени достижения границы основным параметром является дрейф. Однако, давайте посмотрим на пункт б) снова. "Не существует" — это верно. Для пункта а) я дам ответ 250, но добавлю примечание, что согласно некоторым источникам (если ключ жесткий) может быть использована другая методика, но стандартная теория дает 250. \nWait, let's look at the number 130 again.\nIs it possible that the question implies something about variance?\nNo.\nLet's stick to the rigorous math. \nSolution $structure: 1$. Define parameters. 2. Part a:Use Wald's identity or standard formula for hitting time of biased random walk. 3. Part b:Explain transience and infinite expectation. \nFinal check on HTML tags and formatting.\nUnits outside formulas.\nTeX in dollars.\nSteps in details.