10–11 классы *. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов § 59. *. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 551

Тема: *. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Павел Лебедев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 549

Условие

Простое симметричное случайное блуждание начинается из состояния 0. Обозначим m_2n математическое ожидание случайной величины «число возвратов за 2n шагов».

а) Найдите m₆.

б) Докажите, что m_2n+2=m_2n+Cn+12n+2/2²ⁿ⁺².

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В задаче рассматривается симметричное случайное блуждание на прямой. Состояние 0 является началом пути. Под «возвратом» в контексте таких задач обычно понимается событие того, что частица находится в состоянии 0 в определённый момент времени (или совершает переход через ноль, но для математического ожидания числа возвратов стандартно используется индикаторная функция нахождения в нуле). Обозначим X_k положение частицы после k шагов. Тогда число возвратов за 2n шагов можно представить как сумму индикаторов: N_2n=∑nj=1I(X_2j=0), так как в нечётные моменты времени частица не может быть в нуле (чётность положения совпадает с чётностью номера шага). Математическое ожидание линейно, поэтому m_2n=E[N_2n]=∑nj=1P(X_2j=0).

Шаг 1. Вычисление вероятности нахождения в нуле

Для симметричного случайного блуждания вероятность оказаться в точке 0 после 2k шагов равна:

P(X_2k=0)=Ck2k/2^2k

Здесь Ck2k — биномиальный коэффициент, показывающий число способов выбрать k шагов вправо из 2k возможных (остальные k будут влево).

Шаг 2. Решение пункта а) (m₆)

Нам нужно найти математическое ожидание числа возвратов за 6 шагов. Это сумма вероятностей нахождения в нуле на шагах 2,4 и 6:

m₆=P(X₂=0)+P(X₄=0)+P(X₆=0)

Вычислим каждое слагаемое отдельно:

Для k=1 (шаг 2): P(X₂=0)=C12/2²=2/4=0,5.
Для k=2 (шаг 4): P(X₄=0)=C24/2⁴=6/16=0,375.
Для k=3 (шаг 6): P(X₆=0)=C36/2⁶=20/64=5/16=0,3125.

Суммируем полученные значения:

m₆=0,5+0,375+0,3125=1,1875

Шаг 3. Доказательство рекуррентной формулы для пункта б)

По определению, m_2n — это сумма вероятностей возврата в нуль на каждом чётном шаге от 2 до 2n:

m_2n=∑nj=1P(X_2j=0)=∑nj=1Cj2j/2^2j

Аналогично, m_2n+2 — это сумма вероятностей возврата на чётных шагах от 2 до 2n+2:

m_2n+2=∑n+1j=1P(X_2j=0)=(∑nj=1P(X_2j=0))+P(X_2n+2=0)

Первая часть суммы в скобках — это ровно m_2n. Вторая часть — это вероятность того, что частица находится в нуле именно на шаге 2n+2:

P(X_2n+2=0)=Cn+12n+2/2²ⁿ⁺²

Таким образом, мы получаем требуемую рекуррентную связь:

m_2n+2=m_2n+Cn+12n+2/2²ⁿ⁺²

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) 1,1875

б) Доказано

Задача использует свойство аддитивности математического ожидания для индикаторных событий. 'Число возвратов' трактуется как количество моментов времени (из чётных), когда частица находится в исходной точке. Формула в пункте б) выводится непосредственно из определения частичной суммы ряда вероятностей.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 551 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 551?

Краткий ответ: а) 1,1875 б) Доказано.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 59. *. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.