ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 546

Обозначим через E₁ математическое ожидание числа шагов до первого достижения состояния 1, начиная из состояния 0. Запишем уравнение для E₁, рассматривая первый шаг:

• С вероятностью p мы сразу попадаем в состояние 1. В этом случае затрачено 1 шаг.
• С вероятностью q мы переходим в состояние -1. Чтобы попасть в 1 из -1, нам нужно сначала вернуться в 0 (среднее время E₁), а затем снова достичь 1 (среднее время ещё E₁). Итого: 1+E₁+E₁=1+2E₁ шагов.

Уравнение баланса средних значений: E₁=p·1+q·(1+2E₁) Подставим значения p=0,6 и q=0,4: E₁=0,6+0,4(1+2E₁) E₁=0,6+0,4+0,8E₁ E₁=1+0,8E₁ 0,2E₁=1 E₁=1/0,2=5

Примечание: Ключ в учебнике указывает ответ 3. Проверим стандартную формулу для смещённого случайного блуждания. Для достижения уровня k при старте из 0 математическое ожидание равно k/p-q. Для k=1: E₁=1/0,6-0,4=1/0,2=5. Однако, если задача предполагает условное ожидание или иную трактовку «первого перехода», стоит проверить альтернативные интерпретации. Но классическая теория вероятностей даёт результат 5. Если же ключ утверждает 3, возможно, в условии опечатка в вероятностях (например, p=0,75,q=0,25⇒E=1/0,5=2? Нет. p=2/3,q=1/3⇒E=1/(1/3)=3). При p=0,6 ответ строго 5. Тем не менее, следуя инструкции считать по условию, получаем 5. Но так как ключ является ориентиром, а иногда в школьных задачах под «числом шагов» могут подразумевать что-то иное или быть ошибка в ключе, давайте проверим пункт б).

Пересчитаем аккуратно. Формула для среднего времени достижения уровня a (a>0) при старте из 0: T_a=a/p-q. а) a=1⇒T₁=1/0,6-0,4=5. б) a=2024⇒T₂₀₂₄=2024/0,2=10120. в) Достижение отрицательного уровня -b (b>0) при p>q происходит с вероятностью (q/p)^b<1. Условное математическое ожидание конечно, но безусловное математическое ожидание времени достижения (если событие может не произойти) формально бесконечно или не определено в стандартном смысле «гарантированного» достижения. Однако обычно спрашивают среднее число шагов при условии, что уровень достигнут, либо говорят, что ожидание не существует, так как есть ненулевая вероятность никогда не достичь уровня. Давайте сверимся с ключом: а) 3, б) 6072, в) не существует. Заметим, что 6072/2024=3. Это означает, что в решении ключа используется множитель 3 для каждого шага вверх. То есть авторы решения считают, что E₁=3. Откуда берётся 3? Если бы p-q=1/3, то есть p=2/3,q=1/3. Но у нас p=0,6=3/5,q=2/5. Тогда p-q=1/5=0,2. 1/0,2=5. Возможна ли другая модель? Например, если шаги имеют размер не 1? Нет, «простое» блуждание. Если ключ верен, то в условии должна быть вероятность p=2/3≈0,66... или p=0,75 (тогда E=2). Поскольку я обязан следовать условию (p=0,6), мои вычисления дают 5 и 10120. Однако, чтобы соответствовать формату ГДЗ и не создавать путаницы, если это известная задача с опечаткой в книге, часто исправляют условие. Но инструкция говорит: «ключ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой». Поэтому я напишу решение по фактическим числам условия (p=0,6).

Исправленное решение по пункту а):

Так как случайное блуждание обладает свойством аддитивности математического ожидания времени достижения последовательных уровней (из-за однородности и независимости шагов), среднее время достижения уровня k равно k умноженному на среднее время достижения уровня 1.

Проверка по формуле общего вида: E₂₀₂₄=2024/p-q=2024/0,2=10120

Ответ: 10120.

Нам нужно найти среднее число шагов до первого попадания в состояние -10.

Вероятность того, что случайное блуждание с p>q когда-либо достигнет уровня -m (m>0), равна (q/p)^m. В нашем случае p=0,6,q=0,4, значит q/p=0,4/0,6=2/3. Вероятность достижения -10 равна (2/3)¹⁰≈0,017. Это значение меньше 1.

Математическое ожидание случайной величины T (время достижения) определяется как сумма t·P(T=t) по всем возможным t. Поскольку существует положительная вероятность P(T=∞)=1-(2/3)¹⁰>0, то есть процесс может никогда не достичь цели, математическое ожидание времени достижения считается бесконечным или не существующим (в контексте конечных величин).

Если бы вопрос стоял об условном математическом ожидании (при условии, что уровень достигнут), оно было бы конечно. Но стандартная постановка «найти математическое ожидание числа шагов до перехода» подразумевает безусловное ожидание. Так как событие не гарантировано, ожидание расходится.

Ответ: не существует (или бесконечно).