ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 160: Отрицание

Исходное утверждение: «Число 72 делится на число x». Под «делится» в школьном курсе обычно понимается деление без остатка (кратность).

а) «Это утверждение истинно для всех натуральных x».

Чтобы это высказывание было истинным, число 72 должно делиться на любое натуральное число x. Проверим контрпримером. Возьмём x=5. Число 72 не делится на 5 без остатка (72:5=14 с остатком 2). Значит, утверждение ложно хотя бы для одного x, следовательно, оно не может быть истинным для всех.

Вывод: Высказывание а) — ложно .

б) «Это утверждение не является истинным ни при одном натуральном x».

Это означает, что нет ни одного натурального числа x, на которое делится 72. Однако мы знаем, что 72 делится на 1, на 2, на 8, на 9 и т.д. Например, при x=8 утверждение «72 делится на 8» истинно (72:8=9). Поскольку существует хотя бы одно подходящее x, то сказать, что таких чисел нет вообще, нельзя.

Вывод: Высказывание б) — ложно .

в) «Это утверждение истинно для всех натуральных x, которые меньше 5».

Натуральные числа, меньшие 5: это 1,2,3,4. Проверим делимость 72 на каждое из них:

• 72:1=72 (истинно);
• 72:2=36 (истинно);
• 72:3=24 (истинно);
• 72:4=18 (истинно).

Так как утверждение верно для каждого элемента указанного множества, всё высказывание в целом истинно.

Вывод: Высказывание в) — истинно .

г) «Это утверждение ложно при некоторых натуральных x».

Фраза «при некоторых» означает «хотя бы при одном». Нам нужно найти хотя бы одно натуральное число x, на которое 72 не делится. Как мы уже выяснили в пункте а), x=5 подходит (72 не делится на 5). Также подходят x=7,x=10 и многие другие. Поскольку такие числа существуют, высказывание верно.

Вывод: Высказывание г) — истинно .

д) «Это утверждение истинно для некоторых трёхзначных чисел x».

Трёхзначные числа начинаются от 100. Если x≥100, то частное 72:x будет меньше 1. В области натуральных чисел деление без остатка возможно только если делимое больше или равно делителю (или равно нулю, но здесь 72≠0). Ни одно трёхзначное число не является делителем числа 72, так как все делители 72 (1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72) являются двузначными или однозначными.

Следовательно, не существует ни одного трёхзначного x, при котором утверждение было бы истинным. Фраза «для некоторых» требует наличия хотя бы одного примера, которого нет.

Вывод: Высказывание д) — ложно .

Ложными оказались высказывания а), б) и д). Построим их отрицания.

Отрицание к а):

Исходное: «Для всех x истинно».

Правило отрицания квантора всеобщности: ¬(∀xP(x))≡∃x¬P(x) («Не для всех, а найдется такое, что не...»).

Отрицание: «Это утверждение ложно для некоторых натуральных x» или «Найдётся натуральное x, для которого число 72 не делится на x» .

Отрицание к б):

Исходное: «Не является истинным ни при одном x» (то есть «Для всех x ложно»).

Правило отрицания: ¬(∀x¬P(x))≡∃xP(x) («Неверно, что ни при каком, значит, при каком-то да»).

Отрицание: «Это утверждение истинно для некоторых натуральных x» или «Существует натуральное x, на которое число 72 делится» .

Отрицание к д):

Исходное: «Истинно для некоторых трёхзначных x».

Правило отрицания квантора существования: ¬(∃xP(x))≡∀x¬P(x) («Некоторые» меняется на «Ни один» / «Все не»).

Отрицание: «Это утверждение ложно для всех трёхзначных чисел x» или «Утверждение не является истинным ни при одном трёхзначном числе x» .