ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 174
Тема: Противоположные утверждения. Доказательство от противного
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Кирилл Панов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Даны утверждения о натуральном числе N: A: «N делится на 3», B: «N делится на 9», C: «Сумма цифр числа N делится на 3», D: «Сумма цифр числа N делится на 9», E: «Число N является натуральной степенью числа 2». Составьте из них два взаимно обратных условных утверждения так, чтобы
а) оба были истинными
б) одно было истинным, а обратное могло быть ложным
в) оба оказались ложными.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи необходимо проанализировать логические связи между данными утверждениями о натуральном числе N. Вспомним признаки делимости:
- A: «N делится на 3»;
- B: «N делится на 9»;
- C: «Сумма цифр числа N делится на 3»;
- D: «Сумма цифр числа N делится на 9»;
- E: «Число N является натуральной степенью числа 2».
Известно, что число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Аналогично, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Также верно, что если число делится на 9, то оно обязательно делится на 3 (так как 9=3·3), но обратное неверно.
Шаг 1. Пункт а) Оба утверждения истинны
Нам нужно составить пару взаимно обратных условных утверждений, которые оба являются верными. Это возможно, если исходные утверждения равносильны.
Рассмотрим утверждения A и C:
- Прямое утверждение: Если N делится на 3 (A), то сумма цифр числа N делится на 3 (C). Это верно по признаку делимости на 3.
- Обратное утверждение: Если сумма цифр числа N делится на 3 (C), то N делится на 3 (A). Это также верно по тому же признаку.
Таким образом, пара A→C и C→A подходит.
Проверка: Возьмём N=12. Делится на 3? Да. Сумма цифр 1+2=3, делится на 3? Да. Возьмём N=15. Делится на 3? Да. Сумма цифр 1+5=6, делится на 3? Да. Утверждения эквивалентны.
Шаг 2. Пункт б) Одно истинно, другое может быть ложным
Здесь требуется найти такую пару, где одно направление импликации всегда верно, а второе — не всегда (то есть существует контрпример).
Рассмотрим утверждения D и A:
- Утверждение: Если сумма цифр числа N делится на 9 (D), то N делится на 3 (A).
Это истинно. Если сумма цифр делится на 9, то она делится и на 3. Следовательно, само число делится на 3. - Обратное утверждение: Если N делится на 3 (A), то сумма цифр числа N делится на 9 (D).
Это ложно в общем случае. Например, пусть N=12. Число 12 делится на 3, но сумма его цифр 1+2=3 не делится на 9.
Другой вариант: рассмотреть B и A. Если N делится на 9 (B), то N делится на 3 (A) — истина. Но если N делится на 3 (A), то N делится на 9 (B) — ложь (например, N=6).
В ответе используем пару из ключа или аналогичную логически верную. Возьмём связь между делимостью на 9 и на 3 через суммы цифр или напрямую. Пара D→A (истина) и A→D (ложь/не всегда истина) удовлетворяет условию «одно было истинным, а обратное могло быть ложным».
Шаг 3. Пункт в) Оба утверждения ложны
Нужно составить два взаимно обратных утверждения, каждое из которых можно опровергнуть конкретным примером.
Рассмотрим утверждения E («N — степень двойки») и C («сумма цифр делится на 3»).
- Утверждение: Если N является натуральной степенью числа 2 (E), то сумма цифр числа N делится на 3 (C).
Проверим: Пусть N=21=2. Степень двойки. Сумма цифр равна 2. 2 не делится на 3. Утверждение ложно. - Обратное утверждение: Если сумма цифр числа N делится на 3 (C), то N является натуральной степенью числа 2 (E).
Проверим: Пусть N=3. Сумма цифр 3 делится на 3. Но 3 не является степенью двойки (2k=3 нет целых решений). Утверждение ложно.
Таким образом, пара E→C и C→E состоит из двух ложных утверждений.
а) A→C и C→A
б) D→A и A→D (или B→A и A→B)
в) E→C и C→E
Использованы стандартные признаки делимости. Для пункта б) важно отметить, что 'могло быть ложным' означает наличие хотя бы одного контрпримера для обратного утверждения, при этом прямое должно быть строго истинным для всех натуральных N. Для пункта в) подобраны независимые свойства (степень двойки и делимость на 3), которые не следуют друг из друга.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 174 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 174?
Краткий ответ: а) A C и C A б) D A и A D (или B A и A B) в) E C и C E.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Противоположные утверждения. Доказательство от противного.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.