ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 175

Рассмотрим утверждение A : «Число N чётное». По определению, натуральное число является чётным, если оно делится на 2 без остатка.

Утверждение B : «Число N равно 2k для некоторого натурального числа k». Это стандартная алгебраическая запись чётного числа. Если N=2k, то N делится на 2. Следовательно, утверждения A и B описывают одно и то же множество чисел — множество всех чётных натуральных чисел. Они равносильны.

Утверждение D : «Число N заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8». Известный признак делимости на 2 гласит: число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является чётной (то есть принадлежит множеству
0,2,4,6,8
}). Таким образом, утверждение D также эквивалентно тому, что число N чётное.

Вывод по шагу 1: Утверждения A, B и D равносильны друг другу, так как все они означают, что N — чётное число.

Рассмотрим утверждение C : «Число N даёт остаток 2 при делении на 4». Это можно записать в виде формулы: N=4m+2, где m — целое неотрицательное число (так как N натуральное).

Преобразуем это выражение: N=2(2m+1). Из этого следует, что любое число, удовлетворяющее условию C, делится на 2, но не делится на 4 (так как множитель (2m+1) нечётный).

Теперь рассмотрим утверждение E : «Число N делится на 2, но не делится на 4».

Если число делится на 2, но не делится на 4, то при делении на 4 возможны два случая остатков: 0 или 2. Остаток 0 означает, что число делится на 4. Поскольку по условию E число не делится на 4, единственный возможный остаток при делении на 4 — это 2.

Следовательно, условие «остаток при делении на 4 равен 2» (C) и условие «делится на 2, но не на 4» (E) описывают одно и то же множество чисел (2,6,10,14,
_dots).

Вывод по шагу 2: Утверждения C и E равносильны друг другу.

Проверим, могут ли группы {A, B, D} и {C, E} быть равносильными между собой.

Возьмём число N=4. Оно чётное (A верно), представимо как 2·2 (B верно), заканчивается на 4 (D верно). Однако при делении на 4 оно даёт остаток 0, а не 2 (C неверно), и оно делится на 4 (E неверно). Значит, группа {A, B, D} не равносильна группе {C, E}.

Возьмём число N=2. Оно чётное (A верно), 2=2·1 (B верно), заканчивается на 2 (D верно). При делении на 4 остаток 2 (C верно), делится на 2, но не на 4 (E верно). В этом частном случае все верны, но для равносильности нужно совпадение истинности для всех натуральных чисел.

Таким образом, мы имеем две отдельные пары равносильных утверждений.