ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 204: Операции над множествами. Диаграммы Эйлера

Нам даны два числовых промежутка: A=(-3;4] и B=(-2;7]. Необходимо найти их объединение (A∪B) и пересечение (A∩B).

План действий:

• Для объединения нужно записать все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Мы будем искать минимальную левую границу и максимальную правую границу.
• Для пересечения нужно записать все числа, которые принадлежат обоим промежуткам одновременно. Мы будем искать максимальную левую границу и минимальную правую границу.
• Важно правильно определить тип скобок (круглые или квадратные) на концах полученных промежутков.

Объединение двух множеств включает в себя все элементы обоих множеств без повторений.

Рассмотрим границы промежутков:

• Левая граница промежутка A: -3 (не включается, так как скобка круглая).
• Левая граница промежутка B: -2 (не включается, так как скобка круглая).
• Правая граница промежутка A: 4 (включается, так как скобка квадратная).
• Правая граница промежутка B: 7 (включается, так как скобка квадратная).

Чтобы получить объединение, берем самое «левое» начало и самое «правое» окончание.

Самая левая точка — это -3. Поскольку в исходном промежутке (-3;4] число -3 не входит, то и в объединении оно не будет входить. Значит, слева ставим круглую скобку: (-3.

Самая правая точка — это 7. Поскольку в исходном промежутке (-2;7] число 7 входит, то и в объединении оно будет входить. Значит, справа ставим квадратную скобку: 7].

Так как промежутки пересекаются (часть чисел от -2 до 4 общая), то между -3 и 7 нет «дырок». Все числа от -3 (не включая) до 7 (включая) попадают в объединение.

Итак, объединение: (-3;7].

Пересечение двух множеств состоит только из тех элементов, которые есть в каждом из них одновременно.

Число должно удовлетворять условиям обоих промежутков:

• Быть больше -3 и меньше или равно 4.
• Быть больше -2 и меньше или равно 7.

Рассмотрим левые границы:

• Из первого условия: x>-3.
• Из второго условия: x>-2.

Если число больше -2, то оно автоматически больше -3. Следовательно, более строгим условием является x>-2. Число -2 не входит ни в один из исходных промежутков (скобки круглые), поэтому в пересечении оно также не входит. Слева ставим круглую скобку: (-2.

Рассмотрим правые границы:

• Из первого условия: x≤4.
• Из второго условия: x≤7.

Если число меньше или равно 4, то оно автоматически меньше или равно 7. Следовательно, более строгим условием является x≤4. Число 4 входит в первый промежуток (квадратная скобка) и во второй промежуток (так как 4<7). Значит, число 4 входит в пересечение. Справа ставим квадратную скобку: 4].

Итак, пересечение: (-2;4].

Представим эти промежутки на числовой прямой.

Промежуток A покрывает область от -3 до 4. Промежуток B покрывает область от -2 до 7.

Проверка объединения: Если мы закрасим оба промежутка, то получим сплошную линию от самой левой точки (-3) до самой правой точки (7). Точка -3 выколота (не входит), точка 7 залита (входит). Результат: (-3;7]. Совпадает с ответом.

Проверка пересечения: Найдем общую закрашенную часть. Она начинается там, где заканчивается «пустое место» слева для обоих промежутков, то есть после -2. И заканчивается там, где один из промежутков обрывается раньше другого, то есть на 4. Точка -2 не входит (выколота у обоих), точка 4 входит (залита у A и находится внутри B). Результат: (-2;4]. Совпадает с ответом.